quelconques est constante et égale à la somme des rayons des quatre sphères données.
Concevons qu’on ait inscrit des cercles aux quatre faces de ce tétraèdre ; les points de contact de ces cercles avec les arêtes qui terminent respectivement les faces auxquelles ils sont inscrits seront évidemment (Problème I) les points de contact des quatre sphères deux à deux ; d’où il résulte que les deux cercles tangens à une même arête la toucheront au même point ; ou, ce qui revient au même, que les quatre cercles se toucheront deux à deux en six points, où ils auront les arêtes pour tangentes communes.
Par les points de contact qui appartiennent aux trois arêtes d’un même angle trièdre quelconque, concevons trois plans respectivement perpendiculaires à ces arêtes ; ces plans passant, deux à deux, par les centres des trois cercles inscrits correspondants se couperont suivant les axes de ces cercles, qui conséquemment concourront en un même point ; et il est aisé d’en conclure que les axes des quatre cercles concourent en ce point.
Le point de concours des quatre axes est évidemment également distant de tous les points de la circonférence de chaque cercle, en particulier ; puis donc que ces cercles ont, deux à deux, un point qui leur est commun, il faut en conclure que le point de concours des quatre axes est également distant de tous les points de toutes les circonférences, et conséquemment des six points de contact de nos cercles deux à deux, lesquels se trouvent tous conséquemment sur une même sphère, dont nos quatre cercles sont les intersections avec les faces du tétraèdre, et à laquelle toutes ses arêtes sont tangentes. Quant à la sphère qui contient les centres des quatre sphères données, c’est évidemment la sphère circonscrite au tétraèdre
La question proposée se trouve donc ramenée à déterminer, en fonction de le rayon de la sphère qui touche à la fois les six arêtes du tétraèdre et le rayon de la sphère circonscrite au même tétraèdre : problème qu’au surplus on ne saurait se
