Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1814-1815, Tome 5.djvu/317

309

RÉSOLUES.

$f={\frac {6}{6T}}{\sqrt {\left\{{\begin{aligned}&acd(a+c+d)\left\{b^{2}+(c+d)b-cd\right\}^{2}+bcd(b+c+d)\left\{a^{2}+(c+d)a-cd\right\}^{2}\\+&(c+d)^{2}\left\{abcd(a+b+c+d)^{2}-(ab+cd)(ac+bd)(bc+ad)\right\}\\-&\left\{b^{2}+(c+d)b-cd\right\}\left\{a^{2}+(c+d)a-cd\right\}\left\{c^{2}(ad+bd-ab)+d^{2}(ac+bc-ab)\right\}\\\end{aligned}}\right\}}}$

ou en développant réduisant et décomposant

$f={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(bc+ad)\left\{(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)\right\}}{abcd(a+b+c+d)^{2}-(ab+cd)(ac+bd)(bc+ad)}}}.$

Telle est donc l’expression du rayon de la sphère qui contient les centres des quatre sphères données.

Solutions du problème d’arithmétique proposé à la
page 220 de ce volume.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

ÉNONCÉ. Quels sont les nombres dont toutes les puissances ont, pour leurs $n$ derniers chiffres à droite, respectivement, les $n$ derniers chiffres à droite de ces nombres eux-mêmes ?

Première solution ;

Par M. Tédenat, correspondant de l’institut, recteur de
l’académie de Nismes.

I. Soient $N,N'$ deux facteurs de $n$ chiffres au moins, et concevons qu’on les ait partagés, l’un et l’autre en deux tranches dont la dernière à droite ait $n$ chiffres. Soient alors respectivement $a,a'$ les tranches de gauche et $b,b'$ les tranches de droite, considérées les unes et les autres comme des nombres isolés, on aura ainsi