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RÉSOLUES.

${\begin{array}{rrrrrrr}a=&0,&1,&4,&5,&6,&9,\\b=&0,&0,&6,&2,&1,&2,\\3a^{2}-1=&9,&2,&7,&4,&7,&2,\\\end{array}}$

d’où on conclura

${\begin{array}{rrrrrr}x=0,&0{\text{ ou }}1,&2,&1{\text{ ou }}3,&5,&1{\text{ ou }}2,\\A=0,&0{\text{ ou }}5,&2,&2{\text{ ou }}7,&7,&4{\text{ ou }}9,\\\end{array}}$

Pour $n=3,$ on aura

${\begin{array}{rrrrrrrrrr}a=&00,&01,&51,&24,&25,&75,&76,&49,&99,\\b=&0,&0,&6,&8,&6,&8,&9,&6,&2,\\3a^{2}-1=&9,&2,&2,&7,&4,&4,&7,&2,&2\,;\\\end{array}}$

d’où on conclura

${\begin{array}{rrrrrrrrrr}x=0,&0{\text{ ou }}1,&1{\text{ ou }}2,&5,&1{\text{ ou }}3,&2{\text{ ou }}4,&3,&1{\text{ ou }}2,&1{\text{ ou }}2,\\A=0,&0{\text{ ou }}5,&2{\text{ ou }}7,&6,&1{\text{ ou }}6,&3{\text{ ou }}8,&3,&2{\text{ ou }}7,&4{\text{ ou }}9\,;\\\end{array}}$

et ainsi de suite.

Ainsi, en nous bornant là, on voit que les seuls nombres dont les trois derniers chiffres se reproduisent perpétuellement à la droite de leurs puissances impaires, sont les nombres terminés par

$000,001,501,251,751,624,125,625,375,875,376,249,749,499,999.$

Si l’on demandait que la même terminaison reparût seulement de trois en trois puissances, la question se réduirait à trouver un nombre de $n$ chiffres qui terminât lui-même sa quatrième puissance. En raisonnant comme nous l’avons fait ci-dessus, on trouverait facilement que, $a$ étant un des nombres qui résout le problème pour le cas de $n-1$ chiffres, et $b$ étant le $n^{me}$ chiffre de sa quatrième puissance ; si l’on désigne par $A$ le nombre d’un seul