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QUESTIONS
![{\displaystyle x^{2}=2^{n}p(5^{n}q+1)=10^{n}pq+2^{n}p=10^{n}pq+x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a1963bc9939c4352b075ac86ceb309fc8dcc498)
et dans le second
![{\displaystyle y^{2}=5^{n}r(2^{n}s+1)=10^{n}rs+5^{n}r=10^{n}rs+y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dec647bfe710eec8ad15f28242a490b5c86656b)
d’où l’on voit qu’à cause du facteur
qui affecte la première partie des valeurs de
et
ces deux quarrés seront respectivement terminés par
et ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Tout se séduit donc à résoudre les deux équations indéterminées.
![{\displaystyle 2^{n}p-5^{n}q=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd5bc4c8945a09ec78180f6f0dc52096ef1fd70f)
![{\displaystyle 5^{n}r-2^{n}s=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdf03c63b8d5511836be1fe052e1c8f99bb76c93)
Voici leurs solutions pour divers cas particuliers
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrrr}n=1,&p=3,&q=1,&r=1,&s=2,&x=6,&y=5,\\2,&19,&3,&1,&6,&76,&25,\\3,&47,&15,&5,&78,&376,&625,\\4.&586,&15,&1,&39,&9376,&0625,\\5,&293,&3,&29,&2831,&09376,&90625,\\6,&1709,&7,&57,&13916,&109376,&890625,\\7,&55542,&91,&37,&22583,&7109376,&2890625,\\{\text{etc.,}}&{\text{etc.,}}&{\text{etc.,}}&{\text{etc.,}}&{\text{etc.,}}&{\text{etc.,}}&{\text{etc.}}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d9e3aa9cc9cc61f33d25de0a9e35b89d103a928)
Ainsi, tout nombre terminé par quelqu’une des valeurs de
ou de
aura toutes ses puissances terminées par cette même valeur.
Réflexions sur le même problème ;
I. La question proposée revient évidemment à la suivante : Trouver un nombre de
chiffres qui, retranché de son quarré, donne un reste qui ait au moins
zéros à sa droite ?