Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1814-1815, Tome 5.djvu/330

322

QUESTIONS

$x^{2}=2^{n}p(5^{n}q+1)=10^{n}pq+2^{n}p=10^{n}pq+x,$

et dans le second

$y^{2}=5^{n}r(2^{n}s+1)=10^{n}rs+5^{n}r=10^{n}rs+y\,;$

d’où l’on voit qu’à cause du facteur $10^{n}$ qui affecte la première partie des valeurs de $x^{2}$ et $y^{2},$ ces deux quarrés seront respectivement terminés par $x$ et $y.$

Tout se séduit donc à résoudre les deux équations indéterminées.

$2^{n}p-5^{n}q=1,$

$5^{n}r-2^{n}s=1.$

Voici leurs solutions pour divers cas particuliers

${\begin{array}{rrrrrrr}n=1,&p=3,&q=1,&r=1,&s=2,&x=6,&y=5,\\2,&19,&3,&1,&6,&76,&25,\\3,&47,&15,&5,&78,&376,&625,\\4.&586,&15,&1,&39,&9376,&0625,\\5,&293,&3,&29,&2831,&09376,&90625,\\6,&1709,&7,&57,&13916,&109376,&890625,\\7,&55542,&91,&37,&22583,&7109376,&2890625,\\{\text{etc.,}}&{\text{etc.,}}&{\text{etc.,}}&{\text{etc.,}}&{\text{etc.,}}&{\text{etc.,}}&{\text{etc.}}\\\end{array}}$

Ainsi, tout nombre terminé par quelqu’une des valeurs de $x$ ou de $y$ aura toutes ses puissances terminées par cette même valeur.

Réflexions sur le même problème ;

Par M. Gergonne ;

I. La question proposée revient évidemment à la suivante : Trouver un nombre de $n$ chiffres qui, retranché de son quarré, donne un reste qui ait au moins $n$ zéros à sa droite ?