Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1814-1815, Tome 5.djvu/342

334

DE LA LIGNE DROITE

$\operatorname {Cos} .(r,r')=a'\operatorname {Cos} .(r,x)+b'\operatorname {Cos} .(r,y)+c'\operatorname {Cos} .(r,z)\,;\qquad$(4)

et il est clair qu’on pourrait écrire pareillement

$\operatorname {Cos} .(r,r')=a\operatorname {Cos} .(r',x)+b\operatorname {Cos} .(r',y)+c\operatorname {Cos} .(r',z).\qquad$(5)

En posant, pour abréger, {{t|

$\Delta ^{2}=1-\operatorname {Cos} .^{2}(y,z)-\operatorname {Cos} .^{2}(z,x)-\operatorname {Cos} .^{2}(x,y)+2\operatorname {Cos} .(y,z)\operatorname {Cos} .(z,x)\operatorname {Cos} .(x,y),$

les équations (2) donnent

$\left.{\begin{aligned}&a={\tfrac {1}{\Delta ^{2}}}\left\{{\begin{aligned}\operatorname {Cos} .(r,x)\operatorname {Sin} ^{2}.(y,z)&-\operatorname {Cos} .(r,y)\left\{\operatorname {Cos} .(x,y)-\operatorname {Cos} .(y,z)\operatorname {Cos} .(z,x)\right\}\\&-\operatorname {Cos} .(r,z)\left\{\operatorname {Cos} .(z,x)-\operatorname {Cos} .(x,y)\operatorname {Cos} .(y,z)\right\}\\\end{aligned}}\right\},\\&b={\tfrac {1}{\Delta ^{2}}}\left\{{\begin{aligned}\operatorname {Cos} .(r,y)\operatorname {Sin} ^{2}.(z,x)&-\operatorname {Cos} .(r,z)\left\{\operatorname {Cos} .(y,z)-\operatorname {Cos} .(z,x)\operatorname {Cos} .(x,y)\right\}\\&-\operatorname {Cos} .(r,x)\left\{\operatorname {Cos} .(x,y)-\operatorname {Cos} .(y,z)\operatorname {Cos} .(z,x)\right\}\\\end{aligned}}\right\},\\&c={\tfrac {1}{\Delta ^{2}}}\left\{{\begin{aligned}\operatorname {Cos} .(r,z)\operatorname {Sin} ^{2}.(x,y)&-\operatorname {Cos} .(r,x)\left\{\operatorname {Cos} .(z,x)-\operatorname {Cos} .(x,y)\operatorname {Cos} .(y,z)\right\}\\&-\operatorname {Cos} .(r,y)\left\{\operatorname {Cos} .(y,z)-\operatorname {Cos} .(z,x)\operatorname {Cos} .(x,y)\right\}\\\end{aligned}}\right\}.\\\end{aligned}}\right\}$ (6)

Si l’on substitue ces valeurs dans l’équation de relation (5), on obtiendra la suivante qui exprime la relation entre les six angles que forment deux à deux quatre droites $x,y,z,r$ dans l’espace ou, ce qui revient au même, entre les six distances deux à deux de quatre points quelconques d’une sphère,

$\Delta ^{2}=\left\{{\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .^{2}(r,x)\operatorname {Sin} ^{2}.(y,z)-2\operatorname {Cos} .(r,y)\operatorname {Cos} .(r,z)\left\{\operatorname {Cos} .(y,z)-\operatorname {Cos} .(z,x)\operatorname {Cos} .(x,y)\right\}\\+&\operatorname {Cos} .^{2}(r,y)\operatorname {Sin} ^{2}.(z,x)-2\operatorname {Cos} .(r,z)\operatorname {Cos} .(r,x)\left\{\operatorname {Cos} .(z,x)-\operatorname {Cos} .(x,y)\operatorname {Cos} .(y,z)\right\}\\+&\operatorname {Cos} .^{2}(r,z)\operatorname {Sin} ^{2}.(x,y)-2\operatorname {Cos} .(r,x)\operatorname {Cos} .(r,y)\left\{\operatorname {Cos} .(x,y)-\operatorname {Cos} .(y,z)\operatorname {Cos} .(z,x)\right\}\\\end{aligned}}\right\}.$(7)

Les mêmes valeurs substituées dans la formule (5) la change en celle-ci, qui fait connaître l’angle de deux droites $r,r'$ en fonction des angles qu’elles forment avec trois autres droites $x,y,z$ ou, ce qui revient au même, la distance entre deux points d’une sphère en fonction des six distances de ces deux points à trois autres points, pris, arbitrairement sur cette sphère

$\Delta ^{2}\operatorname {Cos} .(r,r')=$

$\left.{\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .(r,x)\operatorname {Cos} .(r',x)\operatorname {Sin} ^{2}.(y,z)+\operatorname {Cos} .(r,y)\operatorname {Cos} .(r',y)\operatorname {Sin} ^{2}.(z,x)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\operatorname {Cos} .(r,z)\operatorname {Cos} .(r',z)\operatorname {Sin} ^{2}.(x,y)\\-&\operatorname {Cos} .(r,z)\operatorname {Cos} .(r',y)+\operatorname {Cos} .(r,y)\operatorname {Cos} .(r',z)\left\{\operatorname {Cos} .(y,z)-\operatorname {Cos} .(z,x)\operatorname {Cos} .(x,y)\right\}\\-&\operatorname {Cos} .(r,x)\operatorname {Cos} .(r',z)+\operatorname {Cos} .(r,z)\operatorname {Cos} .(r',x)\left\{\operatorname {Cos} .(z,x)-\operatorname {Cos} .(x,y)\operatorname {Cos} .(y,z)\right\}\\-&\operatorname {Cos} .(r,y)\operatorname {Cos} .(r',x)+\operatorname {Cos} .(r,x)\operatorname {Cos} .(r',y)\left\{\operatorname {Cos} .(x,y)-\operatorname {Cos} .(y,z)\operatorname {Cos} .(z,x)\right\}\\\end{aligned}}\right\}$(8)