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ET DU PLAN.

trémités par une droite on formera un triangle reetiligne, dans lequel on aura, par ce qui précède,

$r^{2}+r'^{2}-rr'\operatorname {Cos} .(r,r')=\left\{{\begin{aligned}&(x-x')^{2}+2(y-y')(z-z')\operatorname {Cos} .(y,z)\\+&(y-y')^{2}+2(z-z')(x-x')\operatorname {Cos} .(z,x)\\+&(z-z')^{2}+2(x-x')(y-y')\operatorname {Cos} .(x,y)\\\end{aligned}}\right\}.$

En substituant pour $x,y,z,x',y',z'$ leurs valeurs $ar,br,cr,a'r',b'r',c'r',$ ayant égard aux relations (R), (R′), réduisant et divisant par $-2rr',$ on aura

$\operatorname {Cos} .(r,r')=\left\{{\begin{aligned}&aa'+(bc'+cb')\operatorname {Cos} .(y,z)\\+&bb'+(ca'+ac')\operatorname {Cos} .(z,x)\\+&cc'+(ab'+ba')\operatorname {Cos} .(x,y)\\\end{aligned}}\right\}.\qquad$(1)

Si, au moyen des conditions (1), on fait successivement coïncider la droite $r'$ avec chacun des axes, on aura

$\left.{\begin{aligned}\operatorname {Cos} .(r,x)=&a+b\operatorname {Cos} .(x,y)+c\operatorname {Cos} .(z,x),\\\operatorname {Cos} .(r,y)=&b+c\operatorname {Cos} .(y,z)+a\operatorname {Cos} .(x,y),\\\operatorname {Cos} .(r,z)=&c+a\operatorname {Cos} .(z,x)+b\operatorname {Cos} .(y,z),\\\end{aligned}}\right\}\qquad$(2)

mais l’équation de relation (R) peut être écrite ainsi

$\left.{\begin{aligned}&a\left\{a+b\operatorname {Cos} .(x,y)+c\operatorname {Cos} .(z,x)\right\}\\+&b\left\{b+c\operatorname {Cos} .(y,z)+a\operatorname {Cos} .(x,y)\right\}\\+&c\left\{c+a\operatorname {Cos} .(z,x)+b\operatorname {Cos} .(y,z)\right\}\\\end{aligned}}\right\}=1\,;$

elle pourra donc (2) être remplacée par celle-ci

$a\operatorname {Cos} .(r,x)+b\operatorname {Cos} .(r,y)+c\operatorname {Cos} .(r,z)=1.\qquad$(3)

Pareillement, on peut écrire ainsi la formule (1)

$\operatorname {Cos} .(r,r')=\left\{{\begin{aligned}&a'\left\{a+b\operatorname {Cos} .(x,y)+c\operatorname {Cos} .(z,x)\right\}\\+&b'\left\{b+c\operatorname {Cos} .(y,z)+a\operatorname {Cos} .(x,y)\right\}\\+&c'\left\{c+a\operatorname {Cos} .(z,x)+b\operatorname {Cos} .(y,z)\right\}\\\end{aligned}}\right\}\,;$

on pourra donc (2) lui substituer celle-ci