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DE LA LIGNE DROITE

En observant que, d’après les valeurs de $A,B,C$ en $d,e,f,g,h,k,$ on a

$dA+eB+fC=0,$

$gA+hB+kC=0\,;$

les équations (12) donneront encore

$\left.{\begin{aligned}d\operatorname {Sin} .(pq,x)+e\operatorname {Sin} .(pq,y)+f\operatorname {Sin} .(pq,z)=0,\\g\operatorname {Sin} .(pq,x)+h\operatorname {Sin} .(pq,y)+k\operatorname {Sin} .(pq,z)=0.\\\end{aligned}}\right\}\qquad$(16)

La comparaison des équations (13) et (14) donne

$a={\frac {\operatorname {Sin} .(yz,r)}{\operatorname {Sin} .(yz,x)}},\qquad b={\frac {\operatorname {Sin} .(zx,r)}{\operatorname {Sin} .(zx,y)}},\qquad c={\frac {\operatorname {Sin} .(xy,r)}{\operatorname {Sin} .(xy,z)}}.\qquad$(17)

Si l’on substitue ces valeurs dans la relation (3), on arrivera à ce théorème

${\frac {\operatorname {Sin} .(yz,r)}{\operatorname {Sin} .(yz,x)}}\operatorname {Cos} .(r,x)+{\frac {\operatorname {Sin} .(zx,r)}{\operatorname {Sin} .(zx,y)}}\operatorname {Cos} .(r,y)$

$+{\frac {\operatorname {Sin} .(xy,r)}{\operatorname {Sin} .(xy,z)}}\operatorname {Cos} .(r,z)=1.\qquad$(18)

Si l’on substitue ces mêmes valeurs dans la formule (5), on aura

$\operatorname {Cos} .(r,r')={\frac {\operatorname {Sin} .(yz,r)}{\operatorname {Sin} .(yz,x)}}\operatorname {Cos} .(r',x)+{\frac {\operatorname {Sin} .(zx,r)}{\operatorname {Sin} .(zx,y)}}\operatorname {Cos} .(r',y)$

$+{\frac {\operatorname {Sin} .(xy,r)}{\operatorname {Sin} .(xy,z)}}\operatorname {Cos} .(r',z).\qquad$(19)

En les substituant enfin dans la formule (15) on obtient

$\operatorname {Sin} .(pq,r)={\frac {\operatorname {Sin} .(yz,r)}{\operatorname {Sin} .(yz,x)}}\operatorname {Sin} .(pq,x)+{\frac {\operatorname {Sin} .(zx,r)}{\operatorname {Sin} .(zx,y)}}\operatorname {Sin} .(pq,y)$

$+{\frac {\operatorname {Sin} .(xy,r)}{\operatorname {Sin} .(xy,z)}}\operatorname {Sin} .(pq,z).\qquad$(20)

Occupons-nous, en dernier lieu, de la recherche de l’angle de deux plans $pq,p'q'.$ Le cosinus de cet angle n’est autre que le cosinus de deux droites $r,r'$ qui seraient respectivement pendiculaires à ces deux plans. On aura donc, (1) et (10),