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ET DU PLAN.

Si, au moyen des conditions (I), on fait successivement coïncider $r$ avec les trois axes, on aura

$\left.{\begin{aligned}\operatorname {Sin} .(pq,x)=&{\frac {\Delta A}{\Pi }},\\\operatorname {Sin} .(pq,y)=&{\frac {\Delta B}{\Pi }},\\\operatorname {Sin} .(pq,z)=&{\frac {\Delta C}{\Pi }}.\\\end{aligned}}\right\}\qquad$(12)

Si, au moyen des conditions (II), on fait successivement coïncider $pq$ avec les trois plans coordonnés, on aura

$\left.{\begin{aligned}\operatorname {Sin} .(yz,r)=&{\frac {\Delta a}{\operatorname {Sin} .(y,z)}},\\\operatorname {Sin} .(zx,r)=&{\frac {\Delta b}{\operatorname {Sin} .(z,x)}},\\\operatorname {Sin} .(xy,r)=&{\frac {\Delta c}{\operatorname {Sin} .(x,y)}}.\\\end{aligned}}\right\}\qquad$(13)

Si, enfin, par le concours des conditions (I) et (II) ; on fait successivement coïncider le plan $pq$ avec chacun des plans coordonnés et la droite $r$ avec l’axe qui lui est opposé, il viendra, en chassant les dénominateurs,

$\left.{\begin{aligned}\operatorname {Sin} .(y,z)\operatorname {Sin} .(yz,x)=&\Delta ,\\\operatorname {Sin} .(z,x)\operatorname {Sin} .(zx,y)=&\Delta ,\\\operatorname {Sin} .(x,y)\operatorname {Sin} .(xy,z)=&\Delta .\\\end{aligned}}\right\}\qquad$(14)

ces dernières équations prouvent que, dans tout triangle sphérique, les produits des sinus des côtés par les sinus des arcs perpendiculaires, abaissés sur leur direction des sommets opposés, sont constans.

Si l’on compare à l’équation (11) la somme des produits des équations (12) par $a,b,c,$ on aura

$\operatorname {Sin} .(pq,r)=a\operatorname {Sin} .(pq,x)+b\operatorname {Sin} .(pq,y)+c\operatorname {Sin} .(pq,z)\,;\qquad$(15)

équation qu’on aurait pu, au surplus, déduire immédiatement de l’équation (5).