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POLYGONES RÉGULIERS.

$\mathrm {PL_{1}.PL_{2}.PL_{3}\ldots PL_{m}} =\mathrm {PL} .r'^{m-1}.$

Corollaire II. Si la transversale est tangente au cercle circonscrit en $\mathrm {P} \,;$ en prenant, à partir de $\mathrm {P} ,$ l’arc $\mathrm {PS_{1}E} =m\mathrm {PS_{1}} ,$ menant au cercle, par $\mathrm {E} ,$ la tangente $\mathrm {EL} ,$ rencontrant la transversale en $\mathrm {L}$ on aura, toujours abstraction faite des signes, si $m$ est impair ;

$\mathrm {PL_{1}.PL_{2}.PL_{3}\ldots PL_{m}} =\mathrm {PL} .r^{m-1}\,;$

et si $m$ est pair,

$\mathrm {PL_{1}.PL_{2}.PL_{3}\ldots PL_{m}} ={\overline {\mathrm {EL} }}^{2}.r^{m-2}.$

Corollaire III. Enfin, la transversale étant supposée passer par le centre du polygone ; si par l’un $\mathrm {M}$ des points où cette droite coupe le cercle inscrit, on mène à ce cercle une tangente perpendiculaire à la transversale ; et si, après avoir mené le rayon $\mathrm {CA} ,$ parallèle à cette tangente, et pris l’arc $\mathrm {AT'E} =m.\mathrm {AT'} =m\left({\tfrac {1}{2}}\varpi -\mathrm {MT'} \right),$ on mène le rayon $\mathrm {CFN}$ par le milieu $\mathrm {F}$ de l’arc $\mathrm {AT'E} ,$ et prolongé jusqu’à la rencontre de la tangente en $\mathrm {N} \,;$ on aura ; en faisant encore abstraction des signes, si $m$ est impair,

$\mathrm {PL_{1}.PL_{2}.PL_{3}\ldots PL_{m}} =\mathrm {CN} .(2r')^{n-1}\,;$

et, si $m$ est pair,

$\mathrm {PL_{1}.PL_{2}.PL_{3}\ldots PL_{m}} ={\overline {\mathrm {CN} }}^{2}.(2r')^{n-1}.$^[1]

1. Il serait curieux de rechercher si les polygones étoiles de M. Poinsot, ou même ceux qui ont été considérés par M. Argand, à la page 189 de ce volume, ne jouissant pas de quelques propriétés analogues ; en supposant toutefois, pour ces derniers, ou que leurs sommets sont uniformément distribués sur une circonférence de cercle, ou que leurs côtés sont tangens à un même cercle, et ont leurs points de contact avec lui uniformément distribués sur la circonférence.
   J. D. G.