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QUESTIONS
![{\displaystyle D^{2}+E^{2}+F^{2}-K(A+B+C)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b361f061df3a0f3765eee832db2200db5ff8adfa)
ou encore
![{\displaystyle (Ax+A')^{2}+(By+B')^{2}+(Cz+C')^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7323a2bd3cf82ef450d8fcc07044a43ae39ca9a5)
![{\displaystyle -(A+B+C)\left(Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+2A'x+2B'y+2C'z\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505e9a221e09072413b67cd9d546b1dc3dd2f844)
ou enfin, en développant et ordonnant
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&A(B+C)x^{2}+B(C+A)y^{2}+C(A+B)z^{2}\\+2&A'(B+C)x+2B'(C+A)y+2C'(A+B)z\\\end{aligned}}\right\}=A'^{2}+B'^{2}+C'^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/456d811403f50670b0010fe93e7242697010fa8a)
(9)
Telle est l’équation de la surface cherchée.
PROBLÈME II. Quelle surface décrit le sommet d’un angle trièdre tri-rectangle mobile, dont les faces sont assujetties à être perpétuellement tangentes à une même surface donnée du second ordre ?
Solution. L’équation du plan tangent à la surface (8), par un point de cette surface dont les coordonnées sont
est
![{\displaystyle (AX'+A')X+(BY'+B')Y+(CZ'+C')Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e213617e97dc8e344b7f5849eade31a59f10ca1)
![{\displaystyle +A'X'+B'Y'+C'Z'=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a689ede20186d2d326055cbae794e80f17d58e3)
(10)
les trois coordonnées
étant liées entr’elles parla relation
![{\displaystyle AX'^{2}+BY'^{2}+CZ'^{2}+2A'X'+2B'Y'+2C'Z'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49648a02f8769753f4d703dd06d90f89fcbaa0f8)
laquelle peut être écrite ainsi
![{\displaystyle BC(AX'+A')^{2}+CA(BY'+B')^{2}+AB(CZ'+C')^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fcc03a453408da4c0c581f594216dec7a0a7ea8)
![{\displaystyle =BCA'^{2}+CAB'^{2}+ABC'^{2}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ddcc40d1c8e03d85203f47598c9bbb5dc894424)
(11)
Mais l’équation du plan de la face,
est (7)
![{\displaystyle aX+bY+cZ-(ax+by+cz)=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be6c8919cdd1d75b7620ab72cea21a0d295c6070)
(12)
si donc on veut exprimer que cette face est tangente à la surface du second ordre, il faudra écrire que les équations (10) et (12) ne diffèrent au plus que par un facteur, ce qui donnera