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GRANDEUR ET DIRECTION

$c^{2}-ab=0,\qquad$(4)

les deux droites se confondront en une seule, donnée de direction par l’une ou l’autre des deux équations équivalentes

$\left.{\begin{aligned}ax+cy=&0,\\by+cx=&0\,;\\\end{aligned}}\right\}\quad$(5)

lesquelles en effet, par l’élimination de $x$ et $y,$ reproduisent la relation (4).

Cela posé ; soit

$Ax^{2}+By^{2}+2Cxy=D\qquad$(6)

l’équation d’une ligne du second ordre, ayant son centre à l’origine des coordonnées, que nous supposons former entre elles un angle $\gamma .$ L’équation d’un cercle ayant son centre à l’origine et son rayon égal à $r$ sera

$x^{2}+y^{2}+2xy\operatorname {Cos} .\gamma =r^{2}.\qquad$(7)

Ce cercle coupera la courbe en des points dont $r$ exprimera la distance à l’origine.

Soit prise la différence des produits de l’équation (6) par $r^{2}$ et de l’équation (7) par $D\,;$ nous aurons ainsi

$(Ar^{2}-D)x^{2}+(Br^{2}-D)y^{2}+2(Cr^{2}-D\operatorname {Cos} .\gamma )xy=0,\qquad$(8)

équation qui, ayant lieu en même temps que (6) et (7,), doit appartenir à une ligne contenant les points d’intersection de celles qu’expriment ces deux-là.

Par la comparaison de (1) et de (8), on a

$a=(Ar^{2}-D),\qquad b=Br^{2}-D,\qquad c=Cr^{2}-D\operatorname {Cos} .\gamma \,;$

d’où il suit 1.^o que, si l’on prend (2) l’arbitraire $r$ de telle sorte qu’on ait

$(Cr^{2}-D\operatorname {Cos} .\gamma )^{2}-(Ar^{2}-D)(Br^{2}-D)<0,\qquad$(9)