Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1814-1815, Tome 5.djvu/368

360

GRANDEUR ET DIRECTION

$ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+2a'yz+2b'zx+2c'xy=0.\qquad$(1)

Il est connu, et il est d’ailleurs facile de démontrer que, suivant que la fonction

$abc-aa'^{2}-bb'^{2}-cc'^{2}+2a'b'c'\qquad$(2)

sera positive ou négative, l’équation (1) n’exprimera absolument rien, ou exprimera une surface conique ayant son centre à l’origine ; et qu’en particulier, lorsque celle fonction sera nulle, la surface conique dégénérera en une ligne droite, donnée par le système de deux quelconques des trois équations

$\left.{\begin{aligned}ax+b'z+c'y=&0,\\by+c'x+a'z=&0,\\cz+a'y+b'x=&0\,;\\\end{aligned}}\right\}\qquad$(3)

donc chacune est en effet comportée par les deux autres, toutes les fois que la fonction (2) est nulle.

Cela posé ; soit

$Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+2A'yz+2B'zx+2C'xy=D\qquad$(4)

l’équation d’une ligne du second ordre, ayant son centre à l’origine ; les coordonnées faisant entre elles les angles que voici :

$\operatorname {Ang} .(y,z)=\alpha ,\qquad \operatorname {Ang} .(z,x)=\beta ,\qquad \operatorname {Ang} .(x,y)=\gamma .$

L’équation d’une sphère ayant son centre à l’origine et son rayon égal à $r$ sera

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+2yz\operatorname {Cos} .\alpha +2zx\operatorname {Cos} .\beta +2xy\operatorname {Cos} .\gamma =r^{2}.\qquad$(5)

cette sphère coupera la surface courbe suivant tous ceux de ses points qui seront à la distance $r$ de l’origine.

Soit prise la différence des produits de l’équation (4) par $r^{2}$ et de l’équation (5) par $D\,;$ nous aurons ainsi