Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1814-1815, Tome 5.djvu/369

361

DES DIAMÈTRES PRINCIPAUX.

$\left.{\begin{aligned}&(Ar^{2}-D)x^{2}+2(A'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\alpha )yz\\+&(Br^{2}-D)y^{2}+2(B'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\beta )zx\\+&(Cr^{2}-D)z^{2}+2(C'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\gamma )xy\\\end{aligned}}\right\}=0\,;\qquad$(6)

équation qui, ayant lieu en même temps que (4) et (5), doit, en général, exprimer une surface qui passe par la commune section des deux premiers.

Par la comparaison de (1) et (6), on a

${\begin{aligned}a=Ar^{2}-D,&\qquad a'=A'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\alpha ,\\b=Br^{2}-D,&\qquad b'=B'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\beta ,\\c=Cr^{2}-D,&\qquad c'=C'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\gamma \,;\\\end{aligned}}$

d’où l’on voit que, suivant les diverses valeurs qu’on voudra assigner à $r$ l’équation (6) pourra être absurde d’elle-même, ou exprimer une surface conique ayant son centre à l’origine, laquelle passera par l’intersection de la sphère avec la surface du second ordre. En particulier, cette sphère deviendra tangente a la surface (1), et la surface conique se réduira à une droite (2), lorsqu’on aura

${\begin{aligned}&(Ar^{2}-D)(Br^{2}-D)(Cr^{2}-D)\\+2&(A'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\alpha )(B'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\beta )(C'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\gamma )\\-&(Ar^{2}-D)(A'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\alpha )^{2}-(Br^{2}-D)(B'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\beta )^{2}\\-&(Cr^{2}-D)(C'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\gamma )^{2}=0.\\\end{aligned}}$(7)

Or, il est visible qu’alors cette droite unique deviendra l’un des diamètres principaux, et que $r$ sera la longueur de la moitié de ce diamètre ; ainsi, les longueurs des demi-diamètres principaux sont données par l’équation (7) qui, développée revient à

$(ABC-AA'^{2}-BB'^{2}-CC'^{2}+2A'B'C')r^{6}$

$-D\left\{{\begin{aligned}&(BC-A'^{2})+2(B'C'-AA')\operatorname {Cos} .\alpha \\+&(CA-B'^{2})+2(C'A'-BB')\operatorname {Cos} .\beta \\+&(AB-C'^{2})+2(A'B'-CC')\operatorname {Cos} .\gamma \\\end{aligned}}\right\}\quad r^{4}$