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QUESTIONS

décroîtra continuellement, et pourra même devenir moindre que celle du milieu, si la table est suffisamment longue.

Confirmons présentement ces aperçus par le calcul. Considérons un point de l’un des longs côtés dont la distance au milieu de ce long côté soit égale à $x\,;$ la lumière reçue par ce point sera

${\frac {1}{b^{2}+c^{2}+(x-z)^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}+c^{2}+(x+z)^{2}}}={\frac {2\left(x^{2}+z^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}{\left(x^{2}+z^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}-4z^{2}x^{2}}}.\$ (9)

Supposons $z$ donné et constant ; la différentielle de cette expression prise par rapport à $x$ et divisée par $\operatorname {d} x$ sera

$4x.{\frac {4z^{2}\left(z^{2}+b^{2}+c^{2}\right)-\left(x^{2}+z^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}{\left\{\left(x^{2}+z^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}-4z^{2}x^{2}\right\}^{2}}}$

d’où, en égalant à zéro,

$x=0,\qquad$ou$\qquad \left(x^{2}+z^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}=4z^{2}\left(z^{2}+b^{2}+c^{2}\right).$

En rejetant tout emploi de signes qui rendrait inévitablement $x$ imaginaire, ainsi que le double signe de $x,$ la seconde équation donne simplement

$x={\sqrt {\left(2z-{\sqrt {z^{2}+b^{2}+c^{2}}}\right){\sqrt {z^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}\,;$

et encore faut-il, pour que cette valeur puisse être admise, que ${\sqrt {z^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ ne soit pas plus grand que $2z\,;$ c’est-à-dire, en d’autres termes, que la distance de l’une des lumières au milieu de l’un des longs côtés n’excède pas sa distance à l’autre lumière.

Pour savoir présentement laquelle de cette valeur ou de la valeur $x=0$ répond au maximum ou au minimum, passons à la différentielle seconde qui, divisée par $\operatorname {d} x^{2},$ est