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RÉSOLUES.

$4x.{\frac {4z^{2}\left(z^{2}+b^{2}+c^{2}\right)-\left(x^{2}+z^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}{\left\{\left(x^{2}+z^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}-4z^{2}x^{2}\right\}^{2}}}$

$-16z^{2}.{\tfrac {\begin{array}{ll}&\left(x^{2}+z^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left\{\left(x^{2}+z^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}-4z^{2}x^{2}\right\}\\&-2\left\{\left(x^{2}+z^{2}+b^{2}+c^{2}\right)-2z^{2}\right\}\left\{4z^{2}\left(z^{2}+b^{2}+c^{2}\right)-\left(x^{2}+z^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}\right\}\\\end{array}}{\left\{\left(x^{2}+z^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}-4z^{2}x^{2}\right\}^{3}}}$

En posant $x=0,$ la seconde fraction s’évanouît, et la première devient

$4.{\frac {4z^{2}-\left(z^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}{\left(z^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{3}}}\,;$

quantité négative ou positive, suivant que $2z$ sera moindre ou plua grand que ${\sqrt {z^{2}+b^{2}+c^{2}}}\,;$ ainsi, la valeur $x=0$ répondra à un maximum, si la valeur

$x={\sqrt {\left(2z-{\sqrt {z^{2}+b^{2}+c^{2}}}\right){\sqrt {z^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}$

est imaginaire ; et cette valeur $x=0$ répondra à un minimum, si au contraire l’autre valeur de $x$ est réelle.

Si ensuite on pose

$z={\sqrt {\left(2z-{\sqrt {z^{2}+b^{2}+c^{2}}}\right){\sqrt {z^{2}+b^{2}+c^{2}}}}},$

ou, ce qui revient au même,

$\left(x^{2}+z^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}=4z^{2}\left(z^{2}+b^{2}+c^{2}\right),$

c’est au contraire la première fraction qui s’évanouit ; tandis que la seconde devient

$-{\frac {1}{2z^{3}}}.{\frac {2z-{\sqrt {z^{2}+b^{2}+c^{2}}}}{\left\{{\sqrt {z^{2}+b^{2}+c^{2}}}-z\right\}^{2}}}\,;$

quantité négative ou positive, suivait que $2z$ sera plus grand ou plus petit que ${\sqrt {z^{2}+b^{2}+c^{2}}}\,;$ et comme, dans le dernier de ces deux cas, la valeur de $x$ devient imaginaire, il s’ensuit que, lorsque cette valeur