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RÉSOLUES.

que leurs projections tombent sur le grand axe, à une même distance de part et d’autre du centre de la table.

Solution. Soient $2a$ le grand axe et $2b$ le petit axe de l’ellipse, en sorte que son équation soit

$a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}=a^{2}b^{2}.\qquad$(1)

Soit toujours $c$ la hauteur commune des deux lumières au-dessus du plan de la table, et soit enfin $z$ la distance de la projection de chacune d’elles au centre de cette table.

D’après cela, la lumière reçue par un point du périmètre de l’ellipse dont les coordonnées sont $x,y,$ sera

${\frac {1}{c^{2}+y^{2}+(x-z)^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}+y^{2}+(x+z)^{2}}}={\frac {2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+c^{2}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+c^{2}\right)^{2}-4z^{2}x^{2}}}.$

En y mettant pour $y$ sa valeur tirée de l’équation (1) et posant, pour abréger, $a^{2}-b^{2}=e^{2},$ il vient

${\frac {2a^{2}\left\{e^{2}x^{2}+a^{2}\left(z^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\right\}}{\left\{e^{2}x^{2}+a^{2}\left(z^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\right\}^{2}-4a^{4}z^{2}x^{2}}}.\qquad$(3)

Supposons $z$ déterminé, et voyons quelle valeur il faudrait donner à $x$ pour que le point que nous considérons fût plus ou moins éclairé que tous les autres. La différentielle de cette expression, prise par rapport à $x$ est divisée par $\operatorname {d} x$ est

$4a^{2}x.{\frac {4a^{6}z^{2}\left(z^{2}+b^{2}+c^{2}\right)-e^{2}\left[e^{2}x^{2}+a^{2}\left(z^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\right]^{2}}{\left[e^{2}x^{2}+a^{2}\left(z^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\right]^{2}-4a^{4}z^{2}x^{2}}}\,;$

en l’égalant à zéro, on a

$x=0,\quad$ou$\quad x={\frac {a}{e^{2}}}{\sqrt {e\left(2az-e{\sqrt {z^{2}+b^{2}+c^{2}}}\right){\sqrt {z^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}$

On prouvera, comme ci-dessus, que la valeur $x=0$ est minimum ou maximum suivant que l’autre est réelle ou imaginaire, et que, dans tout le cas où cette dernière est réelle, elle répond à un maximum. En particulier, si l’on a