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RÉSOLUES.

à une troisième courbe qui coupe chacune d’elles aux mêmes points où elles se coupent elles-mêmes.

Soit donc ajouté au produit de la première des deux équations ci-dessus par $B'-A'$ le produit de la seconde par $A-B,$ il viendra en réduisant

$(AB'-BA')x^{2}+(AB'-BA')y^{2}$

$+2\left\{D'(A-B)-D(A'-B')\right\}x+2\left\{E'(A-B)-E(A'-B')\right\}y$ (2)

$+\left\{K'(A-B)-K(A'-B')\right\}=0\,;$

équation d’une courbe qui contient les quatre intersections des deux premières ; or, on voit que cette courbe est une ellipse dans laquelle les diamètres conjugués égaux sont respectivement parallèles aux axes des coordonnées, c’est-à-dire, aux diamètres conjugués que l’on suppose être parallèles dans les deux premières ; ce qui démontre la proposition annoncée.

Si l’on suppose les axes des coordonnées rectangulaires ; on aura, pour ce cas particulier, la proposition suivante :

COROLLAIRE. Si deux ellipses dont les axes sont respectivement parallèles se coupent en quatre points, ces quatre points seront sur une même circonférence.^[1]

Ce qui précède ne supposant aucunement que les quatre coefficiens $A,B,A',B'$ soient plutôt de mêmes signes que de signes différens, il s’ensuit que la proposition a également lieu, lorsque

1. Ce cas particulier avait été proposé par M. Bérard qui en avait fourni une démonstration assez simple que nous aurions mentionnée ici, si celle que l’on vient de voir ne se trouvait la comprendre.
   J. D. G.