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QUESTIONS

les courbes données, au lieu d’être deux ellipses, sont deux hyperboles, ou bien une ellipse et une hyperbole. Enfin l’un des deux ceefficiens $A,B$ ou l’un des eoefficiens $A',B'$ pouvant être supposé nul ; il s’ensuit que la proposition est encore vraie, lors même que l’une des courbes données ou toutes les deux sont deux paraboles.

Si, au lieu de multiplier respectivement les équations (1) par $B'-A'$ et $A-B$ on les eût multipliées par $-A'-B'$ et $+A+B,$ l’équation (3) eût été celle d’une hyperbole équilatérale rapportée à deux axes parallèles à deux diamètres conjugués parallèles eux-mêmes aux diamètres conjugués que l’on suppose être parallèles dans les deux premières courbes ; ce qui peut fournir de nouveaux théorèmes.

THÉORÈME II. Si trois ellipsoïdes, tellement situés dans l’espace que trois diamètres conjugués de l’un quelconque soient respectivement parallèles à trois diamètres conjugués de chacun des deux autres, se coupent en huit points ; ces huit points seront à la surface d’un quatrième ellipsoïde dans lequel les diamètres conjugués égaux seront respectivement parallèles aux diamètres conjugués que l’on suppose être déjà parallèles dans les trois premiers.

Démonstration. Soient pris les axes des coordonnées respectivement parallèles aux diamètres conjugués que l’on suppose l’être déjà dans les trois ellipsoïdes dont il s’agit ; les équations de ces ellipsoïdes seront de la forme

$\left.{\begin{aligned}Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+2Dx+2Ey+2Fz+K&=0,\\A'x^{2}+B'y^{2}+C'z^{2}+2D'x+2E'y+2F'z+K'&=0,\\A''x^{2}+B''y^{2}+C''z^{2}+2D''x+2E''y+2F''z+K''&=0,\\\end{aligned}}\right\}\quad$(1)

Or, il est connu que, lorsque trois surfaces sont rapportées