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CALCUL

${\frac {6.5.4}{1.2.3}}a_{3}^{3}a_{4}^{3}\,:$ de plus, ces termes, dus aux puissances des quantités polynômiales, sont toujours aisés à reconnaître, en ce que les deux dernières lettres se suivent, dans l’ordre des indices, et réciproquement ; car, on a évidemment ($\zeta$ étant un coefficient numérique convenable) $\zeta a_{3}^{3}a_{4}^{2}=$$\zeta a_{3}^{3}\left(\operatorname {D} a_{3}\right)^{2}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.a_{3}^{5}.$ Il ne reste donc que de savoir déduire d’un semblable terme dans $A_{n}$ son correspondant dans $A_{n+1}.$ Soit donc $\zeta a_{2}^{r}a_{3}^{s}$ ce terme dans $A_{n}$ ; on a $\zeta a_{2}^{r}a_{3}^{s}=\zeta a_{2}^{r}\left(\operatorname {D} a_{2}\right)^{s}$ ${\frac {\operatorname {D} ^{s}.a_{2}^{r+s}}{1.2\ldots s}}\,;$ or, le terme correspondant dans $A_{n+1},$ sera ${\frac {\operatorname {D} ^{s+1}.a_{2}^{r+s}}{1.2\ldots (s+1)}}={\frac {1}{s+1}}\operatorname {D} .{\frac {\operatorname {D} ^{s}.a_{2}^{r+s}}{1.2\ldots s}}={\frac {\zeta }{s+1}}\operatorname {D} .a_{2}^{r}\left(\operatorname {D} a_{2}\right)^{s}$$={\frac {\zeta r}{s+1}}.a_{2}^{r-1}a_{3}^{s+1}$ ce qui revient à différencier l’avant-dernière lettre, ou sa puissance, à écrire $a_{3}$ pour $\operatorname {D} a_{2},$ et à diviser le résultat par l’exposant de la puissance de la dernière lettre, qui se trouve augmenté d’une unité. On ne fait donc autre chose qu’exécuter la seconde partie de la règle du n.^o 8. Cette même partie de la règle, appliquée à la fonction $\phi a$ dans le terme ${\frac {\operatorname {D} ^{n}\phi a}{1.2\ldots n}}.a_{1}^{n}$ de $A_{n}$ fournit le terme ${\frac {\operatorname {D} ^{n+1}\phi a}{1.2\ldots (n+1)}}.a_{1}^{n+1},$ dont nous avons parlé au commencement de ce n.^o .

La règle du n.^o 8 est donc parfaitement exacte, et fournit le moyen le plus simple pour déduire le développement d’un terme $A_{n+1}$ de celui du terme $A_{n}$ qui le précède immédiatement.

34. Proposons-nous maintenant de développer immédiatement, et indépendamment des termes qui précèdent, un terme quelconque $A_{n}={\frac {\operatorname {D} ^{n}\phi a}{1.2\ldots n}}$ de l’équation (6) ou (7).

En faisant

(56)$\qquad \zeta =a_{1}+a_{2}x+a_{3}x^{2}+a_{4}x^{3}+\ldots ,$

cette équation devient, d’après le n.^o 32, équation (53)

(57) $\phi (a+\zeta x)=\phi a+d\phi a.\zeta x+{\tfrac {1}{2}}d^{2}\phi a.\zeta ^{2}x^{2}+{\tfrac {1}{6}}d^{3}\phi a.\zeta ^{3}x^{3}+\ldots$

Mais, $\zeta$ étant lui-même un polynôme, ses puissances sont fonctions de polynômes qui, d’après le n.^o 5, deviennent