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DES DÉRIVATIONS.

loppement de $\phi \left(a+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots \right)$ ne peut être composé que des trois parties suivantes : 1.^o du terme correspondant du développement de $\phi \left(a+a_{1}x\right),$ équation (53), c’est-à-dire, de ${\tfrac {\operatorname {D} ^{n+1}\phi a}{1.2\ldots {n+1}}}a_{1}^{n+1},$ 2.^o des termes provenant de la substitution de $a_{1}+a_{2}x$ pour $a_{1},$ de $a_{2}+a_{3}x$ pour $a_{2},$ de $a_{3}+a_{4}x$ pour $a_{3},$ et ainsi de suite, dans les dernières lettres (ou leurs puissances) de chaque terme de $A_{n}$ ; 3.^o enfin, de ceux provenant des mêmes substitutions, dans les puissances des dernières lettres des termes de $A_{n-1},A_{n-2},\ldots ,$ en remontant. Examinons chacune de ces trois parties :

1.^o La première partie a toujours évidemment lieu ; car il faut qu’elle subsiste quand $a_{2},a_{3},a_{4},\ldots$ deviennent nuls ; nous verrons tout à l’heure comment la règle du n.^o 8 la fournit.

2.^o En faisant la substitution indiquée, dans un terme de $A_{n}$ de la forme $\zeta a_{2}^{\alpha }a_{4},$ par exemple ; on obtient $\zeta a_{2}^{\alpha }\left(a_{4}+a_{5}x\right),$ et il en résulte pour $A_{n+1},$ le terme $\zeta a_{2}^{\alpha }a_{5}\,;$ ce qui revient à faire varier $a_{4}$ de $\operatorname {D} a_{4},$ et à écrire $a_{5},$ à la place de cette dérivée. Si le terme avait été de la forme $\zeta a_{2}^{\alpha }a_{4}^{\beta },$ on aurait obtenu $\zeta a_{2}^{\alpha }\left(a_{4}^{\beta }+\operatorname {D} .a_{4}^{\beta }.x+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.a_{4}^{\beta }.x^{2}+\ldots \right),$ et il en serait résulté, pour $A_{n+1},$ le terme $\zeta a_{2}^{\alpha }.\operatorname {D} .a_{4}^{\beta }=\beta \zeta a_{2}^{\alpha }a_{4}^{i}{\beta -1}a_{5}\,;$ cela revient donc encore à différencier $a_{4}^{\beta }$ d’après les règles ordinaires, et à écrire $a_{5}$ à la place de $\operatorname {D} a_{4}.$ C’est ce qui constitue, avec l’observation de la fin du n.^o précédent, la première partie de la règle du n.^o 8.

3.^o Il paraîtrait d’abord que, pour trouver les termes de cette troisième partie, on est obligé de recourir aux termes ou coefficiens antérieurs à celui de $A_{n}\,;$ mais on peut s’en dispenser, au moyen de l’observation suivante. Si $A_{n+1}$ doit contenir un terme provenant d’une puissance de quantité polynômiale, qui a reçu un accroissement, $A_{n}$ contient aussi un terme dû à cette puissance, qui en est la dérivée immédiatement inférieure ; par exemple, si $A_{n+1}$ doit contenir ${\tfrac {1}{24}}\operatorname {D} ^{4}.a_{3}^{6}={\frac {6.5.4.3}{1.2.3.4}}a_{3}^{2}a_{4}^{4},\ A_{n}$ contiendra ${\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.a_{3}^{6}=$