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DES DÉRIVATIONS.

pour un terme quelconque. On a, d’après les règles ordinaires de la différentiation,

${\frac {\operatorname {D} ^{r-s}a_{1}^{n-r}}{1.2\ldots (r-s)}}={\tfrac {(n-r)(n-r-1)(n-r-2)\ldots (n-2r+s+2)(n-2r+s+1)}{1.2\ldots (r-s)}}.a_{1}^{n-2r+s},$

${\frac {\operatorname {D} ^{r-s}a_{1}^{n-r-1}}{1.2\ldots (r-s)}}={\tfrac {(n-r-1)(n-r-2)\ldots (n-2r+s+1)(n-2r+s)}{1.2.3\ldots (r-s)}}.a_{1}^{n-2r+s-1}.$

Ainsi, pour déduire le développement de ${\frac {\operatorname {D} ^{r}.a_{1}^{n-r-1}}{1.2\ldots r}}$ de celui de ${\frac {\operatorname {D} ^{r}.a_{1}^{n-r}}{1.2\ldots r}},$ il suffit de diviser chaque terme de ce développement par $n-r,$ de le multiplier par l’exposant de $a_{1}$ dans ce terme, et de diminuer cet exposant d’une unité ; ce qui fournit la règle pratique suivante.

Règle.

35. Pour déduire le développement de ${\frac {\operatorname {D} ^{r+1}.a_{1}^{n-r-1}}{1.2\ldots (r+1)}}$ de celui de ${\frac {\operatorname {D} ^{r}.a_{1}^{n-r}}{1.2\ldots r}},$ divisez chaque terme de ce dernier développement par $n-r,$ multipliez-le par l’exposant de $a_{1}$ dans ce terme (en observant que, dans les termes sans $a_{1},$ cet exposant est zéro), et diminuez son exposant d’une unité. Après cette préparation, suivez la règle du n.^o 8.

Pour donner un exemple de cette règle, nous allons l’appliquer au développement de $A_{6},$ dans l’équation (6) du (59). Les quantités à développer, dans ce cas, sont

$a_{1}^{6},\operatorname {D} .a_{1}^{5},\quad {\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.a_{1}^{4},\quad {\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.a_{1}^{3},\quad {\tfrac {1}{24}}\operatorname {D} ^{4}.a_{1}^{2},\quad {\tfrac {1}{120}}\operatorname {D} ^{5}.a_{1}.$

La première de ces quantités reste $a_{1}^{6}$ la dérivée $\operatorname {D} .a_{1}^{5}$ donne $5a_{1}^{4}a_{2}\,;$ pour en déduire celle ${\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.a_{1}^{4},$ il faut la diviser par $5,$ multiplier