Or, de ces six équations la cinquième est la seule qui renferme et d’où il suit que les cinq autres sont suffisantes pour déterminer les cinq quantités et que ces quantités sont des fonctions de seulement.
Observons en outre que, dans le système transformé, l’équation du diamètre principal étant l’équation de ce diamètre sera, dans le système primitif (3),
puis donc que cette équation ne renferme point la détermination des constantes qu’elle contient sera indépendante de
Il est donc établi, par ce qui précède, que si, dans l’équation d’une parabole, rapportée à deux axes obliques quelconques, on fait seulement varier le dernier terme, on fera simplement glisser son sommet le long de son diamètre principal, considéré comme droite indéfinie, sans changer aucunement la position de ce diamètre ni les dimensions de la courbe.
Les mêmes considérations établissent que réciproquement si, sans changer aucunement les dimensions d’une parabole ni la situation de son diamètre principal, on fait simplement glisser son sommet le long de ce diamètre ; à quelque système d’axes que la courbe soit d’ailleurs rapportée, on pourra toujours amener sa nouvelle équation à ne différer de la première que par son dernier terme.
Il en irait absolument de même si l’on faisait glisser un point quelconque de la courbe le long d’un diamètre passant par ce point, puisqu’alors le sommet de cette parabole parcourrait aussi son diamètre principal.
Cela posé, soit un paraboloïde quelconque, elliptique ou hyperbolique. Par l’un quelconque de ses points menons-lui un diamètre et un plan tangent ; menons-lui ensuite un plan sécant parallèle à ce plan tangent ; la section sera une ellipse ou une hyperbole ; menons à cette courbe deux diamètres conjugués quelconques ; et menons
