sur le plan tangent, deux parallèles à ces diamètres. Soient prises ces deux parallèles pour axes des et des et le diamètre du paraboloïde qui passe par leur intersection pour axe des l’équation de cette surface sera, comme l’on sait
et étant de mêmes signes ou de signes contraires, suivant que le paraboloïde est elliptique ou hyperbolique.
Or, présentement, soit qu’on donne à ou à une suite de valeurs particulières, on obtiendra toujours une suite d’équations de paraboles ne différant uniquement que par le terme tout connu, et qui répondront conséquemment, d’après ce qui a été dit précédemment, à des paraboles égales, ayant toutes un même point de leur périmètre sur le plan des ou sur celui des On peut donc de cette observation déduire les conséquences que voici :
I. Les sections paraboliques faites à un paraboloïde, elliptique ou hyperbolique, par des plans parallèles quelconques, sont des paraboles égales entre elles, ayant leurs points homologues situés sur d’autres paraboles aussi égales entre elles et comprises dans des plans parallèles.
II. Réciproquement, tout paraboloïde, elliptique ou hyperbolique, peut être conçu engendré par le mouvement d’une parabole, de grandeur invariable, demeurant constamment parallèle à un même plan, et dont l’un quelconque des points décrit une autre parabole, fixée de grandeur et de situation dans l’espace.
La différence entre le paraboloïde elliptique et le paraboloïde hyperbolique ne consiste donc uniquement qu’en ce que la parabole génératrice et la parabole directrice ont leur concavité tournées dans le même sens pour le premier, et en sens inverse pour le second.
Le cylindre parabolique et le plan ne sont que des cas particuliers de cette génération ; le premier a lieu lorsque la parabole génératrice ou la parabole directrice dégénère en ligne droite ; le second répond au cas où cela arrive à la fois à toutes les deux.
