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ÉCLIPSES

qui est le développement du produit $x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$ ou $x^{5}+10x^{4}+35x^{3}+50x^{2}+24x$ a pour ses coefficiens $1,10,33,50,24\,;$ et tels sont aussi les nombres de la colonne verticale des $\Delta ^{5}a.$ La série est d’un grand usage, sur-tout dans les cas où les différences $\Delta a,\Delta ^{2}a,\Delta ^{3}a,\Delta ^{4}a,\ldots$ vont rapidement en décroissant ; ce qui rend la suite $A+Bx+Cx^{2}+\ldots$ très-convergente ; mais le défaut même de cette circonstance n’ôte rien à sa généralité.

53. L’application de ces formules à la table du n.^o 48 donne

${\begin{aligned}12q=&-34416+20572t-\quad 645t^{2}+\quad 38t^{3}+\quad \ 3t^{4},\\12r=&+10800-\ \ 5124t+\quad \ \ 13t^{2}+\quad 36t^{3}-\quad \ \ \ t^{4},\\6{\sqrt {q^{2}+r^{2}}}=&+17946-\quad 325t-13815t^{2}+7817t^{3}-1029t^{4}.\\\end{aligned}}$

54. Une interpolation analogue, faite dans la table du n.^o 49, nous apprendra que la moindre distance des centres, qui indique le milieu de l’éclipse, aura lieu à $9^{h}.46'.44'',$ temps vrai de Paris ; ce qui équivaut à $10^{h}.30'.52'',$ temps vrai de Berlin. Une détermination générale et plus rigoureuse, sera l’objet du problème suivant.

55. PROBLÈME V. On demande la relation générale qui existe, au moment du milieu de l’éclipse, ou de la plus grande phase, entre le temps et la position géographique du lieu de l’observateur ?

56. Solution. L’épaisseur de la partie éclipsée est généralement égale à la somme des deux demi-diamètres du soleil et de la lune, moins la distance de leurs centres ; le moment de la plus grande phase est donc celui de la moindre distance des centres. Le quarré de cette distance est $q^{2}+r^{2}\,;$ on aura donc, pour le cas du minimum, l’équation $q\operatorname {d} q+r\operatorname {d} r=0.$ Or, nous avons n.^o 8 les deux équations qui suivent :

$Aq(B-x)=(A-x)Bq'-A(A-B)y,$

$Ar(B-x)=(A-x)Br'-A(A-B)z.$

Nous avons de plus