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DE SOLEIL.

$\left.{\begin{aligned}q'&=M+mt\,;\\r'&=N+nt\,;\\\end{aligned}}\right\}{\text{d’où}}\left\{{\begin{aligned}\operatorname {d} q'&=m\operatorname {d} t,\\\operatorname {d} r'&=n\operatorname {d} t.\\\end{aligned}}\right.$

Les coordonnées géocentriques $q',r'$ sont fonctions du temps seul ; mais les coordonnées $x,y,z,$ sont fonctions du temps et de la position géographique du lieu de l’observateur, c’est-à-dire, de sa longitude et de sa latitude. Elles doivent donc, toutes les trois, être considérées comme variables.

57. En différenciant, sous ce point de vue, les deux équations du n.^o 8, et y introduisant $m\operatorname {d} t$ et $n\operatorname {d} t,$ en place de $\operatorname {d} q'$ et $\operatorname {d} r',$ il vient

$A(B-x)\operatorname {d} q=(Aq-Bq')\operatorname {d} x-A(A-B)\operatorname {d} y+(A-x)Bm\operatorname {d} t,$

$A(B-x)\operatorname {d} r=(Ar-Br')\operatorname {d} x-A(A-B)\operatorname {d} z+(A-x)Bn\operatorname {d} t.$

Mais, les équations du problème donnant

$(B-x)(Aq-Bq')=(A-B)(Bq'-Ay),$

$(B-x)(Ar-Br')=(A-B)(Br'-Az),$

changent les dernières dans les suivantes

${\begin{aligned}A(B-x)^{2}\operatorname {d} q&=(A-B)(Bq'-Ay)\operatorname {d} x\\&-A(A-B)(B-x)\operatorname {d} y\\&+(A-x)(B-x)Bm\operatorname {d} t,\\A(B-x)^{2}\operatorname {d} r&=(A-B)(Br'-Az)\operatorname {d} x\\&-A(A-B)(B-x)\operatorname {d} z\\&+(A-x)(B-x)Bn\operatorname {d} t.\\\end{aligned}}$

58. Il ne reste plus qu’à prendre la somme des produits respectifs de ces deux équations par $q$ et $r,$ pour former la fonction $q\operatorname {d} q+r\operatorname {d} r$ qui, égalée à zéro, doit donner la plus courte distance des centres. En posant, pour abréger,