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DU SECOND ORDRE.

Or, sous cette forme, on voit qu’elle sera un quarré si l’on a

$\left(Cr^{2}-E\operatorname {Cos} .\gamma \right)^{2}=\left(Br^{2}-E\right)\left(Ar^{2}-E\right),$

c’est-à-dire,

$\left(C^{2}-AB\right)r^{4}+E(A+B-2C\operatorname {Cos} .\gamma )r^{2}-E^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma =0;\qquad$(9)

et qu’alors la racine de ce quarré sera

$\left(Br^{2}-E\right)m+\left(Cr^{2}-E\operatorname {Cos} .\gamma \right)=0.\qquad$(10)

La première de ces deux équations fera connaître les deux valeurs de $r,$ et on en conclura, au moyen de la seconde, les valeurs correspondantes de $m.$ Il est difficile de penser qu’aucune autre voie puisse conduire aussi brièvement à la détermination des grandeurs et directions des demi-diamètres conjugués.

§. II.

Construction des surfaces du second ordre.

Lorsqu’une surface ou portion de surface du second ordre est donnée dans l’espace, la méthode la plus simple que l’on puisse employer pour en déterminer le centre est la suivante : on lui mène, sous une direction quelconque, trois ou un plus grand nombre de cordes parallèles, non comprises dans un même plan, dont les milieux déterminent la position d’un certain plan diamétral ; on répète la même opération pour deux autres systèmes de cordes parallèles, d’une direction différente de celle des premières ; on obtient ainsi deux autres plans diamétraux. Si les trois plans se coupent en un point, la surface a un centre, lequel n’est autre que leur intersection ; s’ils se coupent tous trois, suivant une même droite, la surface a une infinité de centres situés sur cette droite ; s’ils se confondent, elle a une infinité de centres situés sur l’un d’eux ; enfin s’ils sont parallèles, ou si seulement leurs intersections deux à deux sont parallèles, la surface est dépourvue de centre ou, en