27. Cette équation ne renferme que la seule inconnue c’est le nombre des jours comptés depuis l’époque fixe jusqu’à l’époque où se fera quelque passage de la planète par le plan de l’équateur. Les quantités seront liées entr’elles par la loi de Képler Mais, comme les rapports sont incommensurables, l’équation, malgré sa simplicité apparente, sera transcendante, et exigera, pour sa résolution l’emploi de la règle de fausse position. On sait de plus que la série que forment les racines de cette équation n’a rien de commun, même dans les cas les plus simples, avec les progressions arithmétiques, géométriques, récurrentes, etc.
28. La simplicité de l’équation finale (26) rend au moins l’emploi des fausses positions très-facile ; et on pourra s’en servir avec avantage, pour trouver les valeurs approchées des passages d’une planète par le plan de l’équateur, pour une année quelconque qui ne serait pas trop éloignée.
29. Après avoir discuté les cas où la déclinaison devient nulle, examinons les époques où elle parvient à son maximum ou minimum. Les notations précédentes seront conservées ; nous supposerons toujours sensiblement nul, ce qui donnera et nous ferons la longitude de la planète ou
30. Le quarré de la distance de la terre à la planète ou, a été trouvé (6),
![{\displaystyle {\mathcal {f}}^{2}=a^{2}-2ar\left[\operatorname {Cos} .(\theta -\delta )\operatorname {Cos} .\omega +\operatorname {Sin} .(\theta -\delta )\operatorname {Sin} .\omega \operatorname {Cos} .\beta \right]+r^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ece5b1c9aef119672d503240c058a663d543e14)
En faisant cette formule deviendra
ou bien
![{\displaystyle {\mathcal {f}}^{2}=a^{2}-2ar\operatorname {Cos} .\left[M-N+(m-n)t\right]+r^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e88559ee7d28af0df208f12c83ade5dff4aaf955)
et, en différentiant,
