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DES PLANÈTES.

La déclinaison $y$ parviendra à son maximum ou minimum, lorsque $x=-{\frac {B}{2C}}\,:$ on aura dans ce cas

$y={\frac {4AC-B^{2}}{4C}}.$

42. Pour déterminer les coefficiens $A,B,C,$ on emploira les déclinaisons, calculées ou observées, $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ répondant respectivement aux temps … $a,b,c,$ de manière que la déclinaison moyenne $\beta$ soit plus grande ou moindre que chacune des extrêmes $\alpha ,\gamma .$ Alors on aura les trois équations

$\alpha =A+Ba+Ca^{2},$

$\beta =A+Bb+Cb^{2},$

$\gamma =A+Bc+Cc^{2},$

desquelles on tirera

$A=-{\frac {bc(b-c)\alpha +ca(c-a)\beta +ab(a-b)\gamma }{(b-c)(c-a)(a-b)}},$

$B=+{\frac {(b^{2}-c^{2})\alpha +(c^{2}-a^{2})\beta +(a^{2}-b^{2})\gamma }{(b-c)(c-a)(a-b)}},$

$C=-{\frac {(b-c)\alpha +(c-a)\beta +(a-b)\gamma }{(b-c)(c-a)(a-b)}}.$

Le temps au bout duquel la plus grande ou la moindre déclinaison aura lieu sera

$x={\tfrac {1}{2}}.{\frac {(b^{2}-c^{2})\alpha +(c^{2}-a^{2})\beta +(a^{2}-b^{2})\gamma }{(b-c)\alpha +(c-a)\beta +(a-b)\gamma }}\,;$

et cette déclinaison sera

$y={\tfrac {(b-c)^{4}\alpha ^{2}+(c-a)^{4}\beta ^{2}+(a-b)^{4}\gamma ^{2}-2(b-c)^{2}(c-a)^{2}\alpha \beta -2(c-a)^{2}(a-b)^{2}\beta \gamma -2(a-b)^{2}(b-c)^{2}\gamma \alpha }{4(b-c)(c-a)(a-b)\left[(b-c)\alpha +(c-a)\beta +(a-b)\gamma \right]}}.$