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PROBLÈMES DE GÉOMÉTRIE.

cette ligne est donc une ligne du second ordre qui a son centre à l’intersection des deux droites fixes.

PROBLÈME IV. Quelle surface décrit dans l’espace un point quelconque d’une droite mobile, dont trois autres points sont assujettis à rester perpétuellement sur trois plans fixes ?

Solution. En conservant les mêmes notations et conventions que dans le Problème II, nous aurons comme alors

$(x+ar)(y+br)(z+cr)=0\,;$

mais ici les racines doivent être trois constantes ; en les représentant donc par $g,h,k,$ nous aurons

$g=-{\frac {x}{a}},\qquad h=-{\frac {y}{b}},\qquad k=-{\frac {z}{c}},$

d’où

$a=-{\frac {x}{g}},\qquad b=-{\frac {y}{h}},\qquad c=-{\frac {z}{k}}.$

Substituant donc dans

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc\operatorname {Cos} .\alpha +2ca\operatorname {Cos} .\beta +2ab\operatorname {Cos} .\gamma =1,$

nous aurons, pour l’équation de la surface cherchée,

${\frac {x^{2}}{g^{2}}}+{\frac {y^{2}}{h^{2}}}+{\frac {z^{2}}{k^{2}}}+2{\frac {yz}{hk}}\operatorname {Cos} .\alpha +2{\frac {zx}{kg}}\operatorname {Cos} .\beta +2{\frac {xy}{gh}}\operatorname {Cos} .\gamma =1\,;$

cette surface est donc une surface du second ordre ayant son centre à l’intersection des trois plans fixes.

Cette génération des surfaces du second ordre a fixé particulièrement l’attention de M. Dupin, dans ses excellens Développemens de géométrie, page 340.