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RAPPORT DE LA CIRCONFÉRENCE

eux, et au rayon du cercle dont la circonférence serait $p$ ; c’est-à-dire, que ces termes convergeront perpétuellement vers la valeur ${\frac {p}{2\varpi }}.$ ^[1]

Voilà donc un procédé, aussi simple qu’élégant, pour obtenir du nombre $\varpi$ une valeur aussi approchée qu’on pourra le désirer ; il

↑ Soient $r_{1},r_{2},r_{3},\ldots r_{x},$ les rayons des cercles inscrits, et $R_{1},R_{2},R_{3},\ldots R_{x},$ ceux des cercles circonscrits ; nous aurons les deux équations aux différences
$2r_{x+1}=r_{x}+R_{x},\qquad R_{x+1}^{2}=R_{x}.r_{x+1}\,;$

nous aurons pareillement, en changeant $x$ en $x+1,$

$2r_{x+2}=r_{x+1}+R_{x+1},\qquad R_{x+2}^{2}=R_{x+1}.r_{x+2}.$

Si, entre ces quatre équations, on élimine successivement $R_{x},R_{x+1},R_{x+2},$ et ensuite $r_{x},r_{x+1},r_{x+2},$ on obtiendra ces deux-ci

$\left(2r_{x+2}-r_{x+1}\right)^{2}=\left(2r_{x+1}-r_{x}\right)r_{x+1},$

$R_{x}\left(2R_{x+2}^{2}-R_{x+1}^{2}\right)=R_{x+1}^{3}.$

La première de ces équations exprime, entre les termes de rangs impairs, une relation indépendante des termes de rangs pairs, et la seconde entre les termes de rangs pairs, une relation indépendante des termes de rangs impairs. On voit en outre que, dans le cas de $x=\infty ,$ l’intégrale commune des ces deux équations ${\frac {p}{2\varpi }},$ pourvu seulement que ${\frac {r}{R}}$ soit le cosinus d’un sous-multiple de la circonférence ; et l’on a alors $p=2m{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}.$

Si ${\frac {r}{R}}$ était le cosinus d’une fraction rationnelle et irréductible ${\frac {n}{m}}$ de la circonférence, on tomberait alors sur les polygones étoilés de M. Poinsot, et la série convergerait continuellement vers ${\frac {p}{2n\varpi }}.$

[1] Soient $r_{1},r_{2},r_{3},\ldots r_{x},$ les rayons des cercles inscrits, et $R_{1},R_{2},R_{3},\ldots R_{x},$ ceux des cercles circonscrits ; nous aurons les deux équations aux différences
$2r_{x+1}=r_{x}+R_{x},\qquad R_{x+1}^{2}=R_{x}.r_{x+1}\,;$

nous aurons pareillement, en changeant $x$ en $x+1,$

$2r_{x+2}=r_{x+1}+R_{x+1},\qquad R_{x+2}^{2}=R_{x+1}.r_{x+2}.$

Si, entre ces quatre équations, on élimine successivement $R_{x},R_{x+1},R_{x+2},$ et ensuite $r_{x},r_{x+1},r_{x+2},$ on obtiendra ces deux-ci

$\left(2r_{x+2}-r_{x+1}\right)^{2}=\left(2r_{x+1}-r_{x}\right)r_{x+1},$

$R_{x}\left(2R_{x+2}^{2}-R_{x+1}^{2}\right)=R_{x+1}^{3}.$

La première de ces équations exprime, entre les termes de rangs impairs, une relation indépendante des termes de rangs pairs, et la seconde entre les termes de rangs pairs, une relation indépendante des termes de rangs impairs. On voit en outre que, dans le cas de $x=\infty ,$ l’intégrale commune des ces deux équations ${\frac {p}{2\varpi }},$ pourvu seulement que ${\frac {r}{R}}$ soit le cosinus d’un sous-multiple de la circonférence ; et l’on a alors $p=2m{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}.$

Si ${\frac {r}{R}}$ était le cosinus d’une fraction rationnelle et irréductible ${\frac {n}{m}}$ de la circonférence, on tomberait alors sur les polygones étoilés de M. Poinsot, et la série convergerait continuellement vers ${\frac {p}{2n\varpi }}.$

[1]