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AU DIAMÈTRE.

ne s’agira, en effet, que de déterminer $r$ et $R,$ avec un nombre suffisant de chiffres décimaux, et d’en conclure ensuite, comme il vient d’être dit, les autres termes de la suite, avec le même degré d’approximation, jusqu’à ce qu’on soit parvenu à deux termes consécutifs qui ne présentent plus aucune différence dans l’ordre de décimales adopté. Divisant ${\tfrac {1}{2}}p$ par l’un d’eux, le quotient qu’on obtiendra sera une valeur approchée du nombre $\varpi .$ On en connaîtra le degré d’approximation en divisant de nouveau ${\tfrac {1}{2}}p$ par le même diviseur, augmenté ou diminué d’une unité décimale du dernier ordre ; et on ne conservera dans le résultat que les chiffres décimaux communs aux deux quotiens. On se rappellera au surplus que, dans les extractions de racines quarrées, dès qu’on a obtenu plus de la moitié des chiffres de la racine, on peut obtenir les suivans par une simple division.

Ce procédé est déjà bien simple, mais il est encore susceptible de quelques simplifications assez notables. Et d’abord, l’inégalité des termes de la série diminuant continuellement, à mesure que ces termes seront plus avancés vers la droite, on parviendra bientôt à deux termes consécutifs qui, abstraction faite de la virgule, se ressembleront, vers la droite, dans plus de la moitié de leurs chiffres : or, lorsqu’on en sera parvenu là, on pourra, sans erreur sensible, dans le degré d’approximation qu’on aura eu en vue, substituer des demi-sommes aux racines quarrées de produits ; de sorte que le calcul des termes ultérieurs de la série se poursuivra, d’une manière tout à fait simple et uniforme, en prenant constamment, pour chaque terme, la demi-somme des deux qui le précéderont immédiatement. Cette remarque, qui n’a point échappé à M. Schwab, peut se justifier comme il suit.

Tout se réduit évidemment à prouver que la demi-somme de deux nombres entiers, qui ont plus de la moitié de leurs chiffres pareils vers la gauche, ne diffère pas de plus d’une demi-unité de la racine quarrée de leur produit. Or, soient en effet $A$ le plus petit de ces nombres et $A+a$ le plus grand ; il s’agira de prouver que