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QUESTIONS

Solution. Soient $a,b,c,$ les trois angles plans de l’angle trièdre dont il s’agit ; $r$ l’angle générateur du cône droit inscrit ; $R$ l’angle générateur du cône droit circonscrit, et $D$ l’angle que forment les axes de ces deux cônes. Soient faits, pour abréger,

$2s=a+b+c,$

$\Delta ^{2}=1-\operatorname {Cos} .^{2}a-\operatorname {Cos} .^{2}b-\operatorname {Cos} .^{2}c+2\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .c.$

Si, dans le mémoire côté, on suppose que les trois axes sont les arêtes de notre angle trièdre, on aura

$(y,z)=a,\qquad (z,x)=b,\qquad (x,y)=c.$^[1]

I. Si, dans l’équation (R), (Annales, tom. V, pag. 331), on substitue pour $a,b,c,$ les valeurs données par les équations (13), (pag. 337), en ayant égard aux conventions ci-dessus, il viendra

$\left.{\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .^{2}a\operatorname {Sin} .^{2}(yz,r)+2\operatorname {Sin} .b\operatorname {Sin} .c\operatorname {Cos} .(zx,r)\operatorname {Sin} .(xy,r)\\&\operatorname {Sin} .^{2}b\operatorname {Sin} .^{2}(zx,r)+2\operatorname {Sin} .c\operatorname {Sin} .a\operatorname {Cos} .(xy,r)\operatorname {Sin} .(yz,r)\\&\operatorname {Sin} .^{2}c\operatorname {Sin} .^{2}(xy,r)+2\operatorname {Sin} .a\operatorname {Sin} .b\operatorname {Cos} .(yz,r)\operatorname {Sin} .(zx,r)\\\end{aligned}}\right\}=\Delta ^{2}.$

Si l’on suppose ensuite que la droite désignée par $r,$ dans cette équation est l’axe du cône droit inscrit, lequel doit conséquemment faire, avec les trois faces de l’angle trièdre, des angles égaux entre eux et à l’angle générateur $r$ de ce cône, on aura

$(xy,r)=(yz,r)=(zx,r)=r\,;$

par suite de quoi notre équation donnera

1. Il faut bien remarquer que nos $a,b,c$ ne sont point ceux du mémoire cité. Il en est de même de $r.$