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RÉSOLUES.

$\operatorname {Sin} .^{2}r={\frac {\Delta ^{2}}{\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .^{2}a+2\operatorname {Sin} .b\operatorname {Sin} .c\operatorname {Cos} .a\\+&\operatorname {Sin} .^{2}b+2\operatorname {Sin} .c\operatorname {Sin} .a\operatorname {Cos} .b\\+&\operatorname {Sin} .^{2}c+2\operatorname {Sin} .a\operatorname {Sin} .b\operatorname {Cos} .c\\\end{aligned}}}\qquad$(1)

II. Si, dans la formule (7), (tom. V, pag. 334), on prend pour $r$ l’axe du cône droit circonscrit, lequel doit faire avec les trois arêtes de l’angle trièdre des angles égaux entre eux et à l’angle générateur $R$ de ce cône, on aura

$(r,x)=(r,y)=(r,z)=R\,;$

en conséquence, cette formule donnera

$\operatorname {Cos} .^{2}R={\frac {\Delta ^{2}}{\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .^{2}a-2(\operatorname {Cos} .a-\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .c)\\+&\operatorname {Sin} .^{2}b-2(\operatorname {Cos} .b-\operatorname {Cos} .c\operatorname {Cos} .a)\\+&\operatorname {Sin} .^{2}c-2(\operatorname {Cos} .c-\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b)\\\end{aligned}}}\qquad$(2)

III. Si enfin, dans l’équation (19), (tom : V, pag, 338), on substitue pour $\operatorname {Sin} .(yz,x),\operatorname {Sin} .(zx,y),\operatorname {Sin} .(xy,z)$ les valeurs données par les équations (14), (tom. V, pag, 337), il viendra

$\Delta \operatorname {Cos} .(r,r')=\left\{{\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .a\operatorname {Sin} .(yz,r)\operatorname {Cos} .(r',x)\\+&\operatorname {Sin} .b\operatorname {Sin} .(zx,r)\operatorname {Cos} .(r',y)\\+&\operatorname {Sin} .c\operatorname {Sin} .(xy,r)\operatorname {Cos} .(r',z)\\\end{aligned}}\right\}$

prenant alors pour $r$ l’axe du cône inscrit, et pour $r'$ celui du cône circonscrit, ce qui donnera, à la fois,

$(yz,r)=(zx,r)=(xy,r)=r,$

$(r',x)=(r',y)=(r',z)=R,$

$(r,r')=D\,;$

cette équation donnera

$\operatorname {Cos} .D={\frac {1}{\Delta }}\left(\operatorname {Sin} .a+\operatorname {Sin} .b+\operatorname {Sin} .c\right)\operatorname {Sin} .r\operatorname {Cos} .R\,;\qquad$(3)