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RÉSOLUES.
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .^{2}R={\frac {16\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}a\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}b\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}c}{\Delta ^{2}}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98cb0df37876237f002ebd4040748b00d233c54f)
(9)
ou, en mettant pour
sa valeur ci-dessus, et extrayant la racine quarrée,
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .R={\frac {2\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}a\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}b\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}c}{\sqrt {\operatorname {Sin} .s\operatorname {Sin} .(s-a)\operatorname {Sin} .(s-b)\operatorname {Sin} .(s-c)}}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/659650a6fb889693f75cf742d7d114b956548b4d)
(10)
formule commode par le calcul par logarithmes.
Si, dans celle dernière formule, on suppose le rayon de la sphère infini, elle deviendra
![{\displaystyle R={\frac {abc}{4{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f255237464981945c2fc73db07ee42538fe08e)
(11)
expression connue du rayon du cercle circonscrit au triangle rectiligne, en fonction de ces trois côtés.
Solution du deuxième problème ;
Par
M. Bérard, principal et professeur de mathématiques
du collège de Briançon, membre de plusieurs sociétés
savantes.
§. 1.
Trouver le rayon de la sphère inscrite à un tétraèdre ?
Soient
le tétraèdre donné ;
![{\displaystyle Aire\mathrm {BCD} =A,\quad Aire\mathrm {CDA} =B,\quad Aire\mathrm {DAB} =C,\quad Aire\mathrm {ABC} =D\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cefccb8b84e733c9b12aae808db04c9e5e20cbf1)
le volume du tétraèdre ;
le rayon de la sphère inscrite ;
![{\displaystyle \mathrm {AD} =a,\quad \mathrm {BD} =b,\quad \mathrm {CD} =c,\quad \mathrm {BC} =d,\quad \mathrm {CA} =e,\quad \mathrm {AB} =f\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa3fbb36533c3eca57dc17c4a0d4e635e06e1277)
le centre de la sphère inscrite,
ses coordonnées respectivement parallèles à
le sommet
étant l’origine ;
les perpendiculaires abaissées des sommets
sur les plans des faces opposées
Enfin,
les angles que forment deux à deux les arêtes