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QUESTIONS
En concevant le tétraèdre comme composé de quatre autres ayant leur sommet commun au point
et ayant pour bases les quatre faces
du premier ; leur hauteur commune sera le rayon cherché
et l’on aura conséquemment
![{\displaystyle T=(A+B+C+D).{\frac {r}{3}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da1aa07f4ed69553caba3e2267b56eb554d2232c)
d’où on tire
![{\displaystyle r={\frac {3T}{A+B+C+D}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7062d66a3e8c7d4a0ca273c3706ec2e5df422fba)
(1)
est la diagonale d’un parallélipipède, dont les arêtes concourant en
sont égales à
et dans lequel les distances entre les faces opposées sont toutes égales à
En conséquence, les triangles rectangles semblables donnent
![{\displaystyle a'={\frac {ar}{g}},\qquad b'={\frac {br}{h}},\qquad c'={\frac {cr}{k}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c5cf3773406e1dc1ad75e6b64ef58dab0c0e4cb)
(2)
Voilà donc les coordonnées du centre déterminées. On sait d’ailleurs que
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}}{2bc}},\quad \operatorname {Cos} .\beta ={\frac {c^{2}+a^{2}+e^{2}}{2ca}},\quad \operatorname {Cos} .\gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}+f^{2}}{2ab}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb9063946ebb6a4c5aad84be08c6d679e20dfa4c)
![{\displaystyle T={\tfrac {1}{6}}abc{\sqrt {1-\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Cos} .^{2}\beta -\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6c0c4a189727c40dbed63f23f76d6406501f13f)
![{\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}bc\operatorname {Sin} .\alpha ,\qquad B={\tfrac {1}{2}}ca\operatorname {Sin} .\beta ,\qquad C={\tfrac {1}{2}}ab\operatorname {Sin} .\gamma \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43fb787af3e17e44da8ef34f9e45f41bec3a26aa)
![{\displaystyle D={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2e^{2}f^{2}+2f^{2}d^{2}+2d^{2}e^{2}-d^{4}-e^{4}-f^{4}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edb43c38bf6cf2c57a85123e45f7a9cf78a8dde2)
![{\displaystyle g={\frac {3T}{A}},\qquad h={\frac {3T}{B}},\qquad k={\frac {3T}{C}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57a5b0ad12a7bbe9d2675c8e856cfe19634c25a4)
au moyen de quoi
peuvent, sans difficulté, être exprimés en fonction des six arêtes.
Les équations de
sont
![{\displaystyle {\frac {x}{a'}}={\frac {y}{b'}}={\frac {z}{c'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fde9bb405e6c560d4b27d12174b11c5c9075c9bc)
ou
![{\displaystyle {\frac {gx}{a}}={\frac {hy}{b}}={\frac {kz}{c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f98d0ddc6ce046ce1c4af8da9721831f18ea38f)
ou