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THÉORÈMES NOUVEAUX.

GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.

Théorèmes nouveaux sur les lignes et surfaces du
second ordre ;

Par M. Frégier, ancien élève de l’école polytechnique.

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J’ai annoncé, dans le III.^e volume de la Correspondance sur l’école polytechnique (n.^o 3, janvier 1816, page 394), un théorème en vertu duquel on peut construire, avec un équerre pour tout instrument, la normale et par conséquent la tangente à une ligne du second ordre, indépendamment de la connaissance des diamètres principaux. Je me propose ici de démontrer ce théorème, ainsi que plusieurs autres théorèmes analogues, sur les lignes et surfaces du second ordre.

Une ligne du second ordre étant donnée, et un point fixe étant pris arbitrairement sur cette courbe ; si l’on prend la tangente en ce point pour axe des $x$ et la normale qui lui répond pour axe des $y$, en désignant par $N$ la longueur de la normale, mesurée depuis l’origine jusqu’au point où elle rencontre de nouveau la courbe, par

$y=Ax+N,$

l’équation de la tangente à cette dernière extrémité de la normale, et enfin par $P$ le rayon de courbure qui répond à l’origine ; l’équation de la courbe dont il s’agit, sera