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QUESTIONS RÉSOLUES.
![{\displaystyle {\begin{aligned}2a''+2c''\operatorname {Cos} .\beta +2b''\operatorname {Cos} .\gamma =&a,\\2b''+2a''\operatorname {Cos} .\gamma +2c''\operatorname {Cos} .\alpha =&b,\\2c''+2b''\operatorname {Cos} .\alpha +2a''\operatorname {Cos} .\beta =&c.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9779e9adcb9ed9155b213ad90cee44894d3a7898)
En se rappelant que
![{\displaystyle 1-\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Cos} .^{2}\beta -\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma ={\frac {36T^{2}}{a^{2}b^{2}c^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99a389ec1fe3c7cb081bcababa3b50eb110f5d5d)
(7)
on en tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}a''&={\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{72T^{2}}}\left\{a\operatorname {Sin} .^{2}\alpha -b\left(\operatorname {Cos} .\gamma -\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \right)-c\left(\operatorname {Cos} .\beta -\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha \right)\right\},\\b''&={\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{72T^{2}}}\left\{b\operatorname {Sin} .^{2}\beta -c\left(\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \right)-a\left(\operatorname {Cos} .\gamma -\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \right)\right\},\\c''&={\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{72T^{2}}}\left\{c\operatorname {Sin} .^{2}\gamma -a\left(\operatorname {Cos} .\beta -\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha \right)-b\left(\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \right)\right\},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48d7cc83e4b508f8d328d3c57c917c6b1f6d5d8f)
substituant ces valeurs dans l’équation (5), et ayant toujours égard à l’équation (7), il viendra
![{\displaystyle R^{2}={\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{144T^{2}}}\left\{{\begin{aligned}&a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha -2bc\left(\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \right)\\+&b^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\beta -2ca\left(\operatorname {Cos} .\beta -\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha \right)\\+&c^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma -2ab\left(\operatorname {Cos} .\gamma -\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \right)\\\end{aligned}}\right\}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/136a031d08926fbe71cd936c7f96e57a79e8d712)
(8)
§. III.
Trouver la distance entre les centres des sphères inscrite et circonscrite
à un même tétraèdre ?
En représentant par
cette distance, et conservant d’ailleurs les mêmes dénominations que ci-dessus, on aura
![{\displaystyle D^{2}=\left\{{\begin{aligned}&(a'-a'')^{2}+2(b'-b'')(c'-c'')\operatorname {Cos} .\alpha \\+&(b'-b'')^{2}+2(c'-c'')(a'-a'')\operatorname {Cos} .\beta \\+&(c'-c'')^{2}+2(a'-a'')(b'-b'')\operatorname {Cos} .\gamma \\\end{aligned}}\right\}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51ec6521839775db37edd123146d4b146f569ea0)
(9)
formule dans laquelle il n’est plus question que de substituer pour les coordonnées des deux centres les valeurs trouvées ci-dessus, et qui se simplifierait peut-être, en y introduisant les rayons
et
[1]
- ↑ Il serait sur-tout intéressant de savoir si
peut être exprimé uniquement en fonction de
et
J. D. G.