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THÉORÈMES
![{\displaystyle +\left\{{\begin{aligned}&\quad \ cc'(ca'-ac')\left(NQa''^{2}+NPb''^{2}-2BPQb''c''\right)\\&+c'c''(c'a''-a'c'')\left(NQa^{2}+NPb^{2}-2BPQbc\right)\\&+c''c(c''a-a''c)\left(NQa'^{2}+NPb'^{2}-2BPQb'c'\right)\\\end{aligned}}\right\}\,y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5d0eabe532bcbdec71d3831b5a5217cf9e3bb12)
![{\displaystyle +\left\{{\begin{aligned}&\quad \ cc'(ab'-ba')\left(NQa''^{2}+NPb''^{2}-2PQc''^{2}\right)\\&+c'c''(a'b''-b'a'')\left(NQa^{2}+NPb^{2}-2PQc^{2}\right)\\&+c''c(a''b-b''a)\left(NQa'^{2}+NPb'^{2}-2PQc'^{2}\right)\\\end{aligned}}\right\}\,z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4d97653188fcfc47a300ac28228888c7f2bfabd)
![{\displaystyle =2NPQcc'c''\left(ab'c''-ac'b''+ca'b''-ba'c''+bc'a''-cb'a''\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd2399b1e6fbba7c15128fa49f7f9299186bb70f)
(9)
Cela posé, supposons que chacune de nos droites
soit perpendiculaire aux deux autres, nous exprimerons cette circonstance par les trois équations
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&aa'\ \ +bb'\ \ +cc'\ \ =0,\\&a'a''+b'b''+c'c''=0,\\&a''a\ +b''b\ +c''c\ \ =0,\end{aligned}}\right\}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dc3bc0378adf078bfaab42c72c05734f6dff973)
(10)
lesquelles, combinées avec les relations (2, 5, 6), donneront entr’autres[1]
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}bc'\ \ -cb'\ \ =a'',&ca'\ \ -ac'\ \,=b'',&ab'\ \ -ba'\ \ =c'',\\b'c''-c'b''=a,&c'a''-a'c''=b,&a'b''-b'a''=c,\\b''c\ -c''b\ \,=a',&c''a\ -a''c\ \,=b',&a''b\ -b''a\ \,=c'\,;\end{array}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc3f02f86eb99ca9963aeb90ecc0af348f1ce967)
(11)
et par conséquent
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&ab'c''-ac'b''+ca'b''-ba'c''+bc'a''-cb'a''\\=&a(b'c''-c'b'')+a'(b''c-c''b)+a''(bc'-cb')\\&\qquad \quad =a^{2}+b^{2}+c^{2}=1.\\\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44f791e589796e95d2e768bd718cc36756a535b4)
(12)
En conséquence, l’équation (9) deviendra simplement
- ↑ Voyez la Correspondance sur l’école polytechnique, tome III, n.o 3, janvier 1816, page 302.