Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1815-1816, Tome 6.djvu/249

239

NOUVEAUX.

Il est clair que, quelles que soient d’ailleurs les directions de nos trois droites $\mathrm {D,D',D'',}$ pourvu qu’elles se trouvent situées toutes trois sur l’une quelconque de nos surfaces coniques, le plan $\mathrm {C} ,$ passant par leurs extrémités, coupera toujours le plan tangent suivant une même droite, puisque ce plan ne sera autre que celui de la courbe plane intersection de la surface du second ordre avçe la surface conique sur laquelle les trois droites seront situées.

Mais, pour exprimer que la droite $\mathrm {D}$ est sur la surface conique, il faut éliminer $x,y,z$ entre les équations (3) et (15). Exprimant ensuite la même condition pour les droites $\mathrm {D',D'',}$ il en résultera les trois équations

$\left.{\begin{array}{lll}&Qa\ \,^{2}+Pb\ \,^{2}&=\lambda c\ \,^{2},\\&Qa'\,^{2}+Pb'\,^{2}&=\lambda c'\,^{2},\\&Qa''^{2}+Pb''^{2}&=\lambda c''^{2},\end{array}}\right\}$ (18)

entre lesquelles éliminant $P$ et $Q,$ ce qui fera aussi disparaître $\lambda ,$ on arrivera à la condition,

$c^{2}\left(a'^{2}b''^{2}-b'^{2}a''^{2}\right)+c'^{2}\left(a''^{2}b^{2}-b''^{2}a^{2}\right)+c''^{2}\left(a^{2}b'^{2}-a'^{2}b^{2}\right)=0.\,{\text{(19)}}$

laquelle, jointe aux trois-autres

$\left.{\begin{array}{lll}&a\ \,^{2}+b\ \,^{2}+c\ \,^{2}&=1,\\&a'\,^{2}+b'\,^{2}+c'\,^{2}&=1,\\&a''^{2}+b''^{2}+c''^{2}&=1,\end{array}}\right\}$ (20)

donnera le système complet des conditions sous l’influenee desquelles les droites $\mathrm {D,D',D''}$ peuvent varier de direction, sans que le plan que déterminent leurs extrémités cesse de passer par la section commune des plans tangens aux deux extrémités de la normale.

Au surplus, la condition (19) peut être remplacée par la suivante :