Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1815-1816, Tome 6.djvu/258

248

INTERPOLATION

Pourvu donc que nous prenions pour $a$ des nombres qui croissent plus rapidement que ceux de la suite ${\tfrac {1}{2}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {3}{4}},\ldots$ nos erreurs iront continuellement en décroissant, à mesure que nous aurons recours à un plus grand nombre d’observations. Supposons, par exemple, que nous fassions croitre les valeurs de $a$ suivant les nombres de la suite naturelle ; et prenons pour unité la valeur de cette quantité qui répond au cas de trois observations, nous aurons alors

Pour 3 observations, $\mathrm {E} .{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\tfrac {1}{2}}\beta ,\qquad \mathrm {E} .{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}={\tfrac {1}{2}}\beta \,;$

Pour 5 observations, $\mathrm {E} .{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\tfrac {1}{3}}\beta ,\qquad \mathrm {E} .{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}={\tfrac {1}{3}}\beta \,;$

Pour 7 observations, $\mathrm {E} .{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\tfrac {1}{4}}\beta ,\qquad \mathrm {E} .{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}={\tfrac {1}{6}}\beta .$

d’où l’on voit qu’alors les erreurs sur les coefficiens différentiels du premier ordre décroitront comme les inverses des nombres naturels, et que celles qui affecteront les coefficiens différentiels du second ordre décroitront suivant la progression, plus rapide encore, des inverses des nombres triangulaires. La méthode de M. Laplace est donc, du moins de ce côté, tout à fait à l’abri du reproche.

Mais, supposons qu’on ait, entre deux limites fixes données, des observations assez nombreuses pour rendre très-petite la différence entre les valeurs consécutives de $x$. Suivant ce qui vient d’être dit, on devra rejeter un d’autant plus grand nombre de ces observations qu’on en voudra employer davantage dans la recherche de ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$ et ${\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}.$ Or, c’est là un inconvénient assez grave, sur-tout si l’on n’a aucun motif de suspecter plutôt les données que l’on rejette que celles dont on se propose de faire exclusivement usage ; puisqu’on se prive ainsi des compensations d’erreurs sur lesquelles on pourrait compter en les employant toutes.

En réfléchissant sur ce sujet, il m’a paru qu’il était possible de tout concilier, au moyen de la méthode des moindres quarrés^[1],

1. On sait que la méthode des moindres quarrés repose sur ce principe que la valeur moyenne, la plus probablement voisine de l’exactitude, d’une quantité