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MÉTHODE

et, en prenant pour unité l’intervalle entre deux ordonnées consécutives, ce sera là l’intégrale demandée.

17. Pour plus de simplicité, appelons les sept ordonnées du cas actuel $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon ,\zeta ,\eta \,;$ nous aurons

${\begin{aligned}a'&={\tfrac {1}{2}}\alpha +\beta +\gamma +\delta +\varepsilon +\zeta +{\tfrac {1}{2}}\eta ,\\b'&=\alpha +2\gamma +2\varepsilon +\eta ,\\c'&={\tfrac {1}{2}}\alpha +3\delta +{\tfrac {1}{2}}\eta ,\\d'&=3\alpha +3\eta \,;\\\end{aligned}}$

qui donnera ; en substituant,

$A={\frac {246(\alpha +\eta )+1296(\beta +\zeta )+162(\gamma +\varepsilon )+1632\delta }{840}}.$

En prenant donc l’intervalle entier qui sépare les ordonnées extrêmes $\alpha$ et $\eta$ pour unité ; on aura finalement pour l’intégrale cherchée

$\int X\operatorname {d} x={\frac {41(\alpha +\eta )+216(\beta +\zeta )+27(\gamma +\varepsilon )+272\delta }{840}}.\qquad$(1)

Si, dans cette dernière formule, on fait $\alpha =\beta =\gamma =\delta =\varepsilon =\zeta =\eta =1,$ elle devient $\int X\operatorname {d} x=1$ ainsi que cela doit être.

18. Exemple premier. On demande le logarithme naturel de deux ?

Le logarithme d’un nombre quelconque $n$ est l’intégrale de ${\frac {\operatorname {d} x}{x}}$ depuis $x=1$ jusqu’à $x=n.$ En divisant donc en six parties égales l’intervalle compris entre un et deux, et remarquant qu’ici $X={\frac {1}{x}}$ nous aurons d’abord

${\begin{array}{llll}\alpha &={\tfrac {6}{6}}=1,00000000,&\alpha +\eta &=1,50000000,\\\beta &={\tfrac {6}{7}}=0.85714286,&\beta +\zeta &=1,40259740,\\\gamma &={\tfrac {6}{8}}=0,75000000,&\gamma +\varepsilon &=1,35000000,\\\delta &={\tfrac {6}{9}}=0,66666667,&2\delta &=1,33333333.\\\end{array}}$