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D’APPROXIMATION.

Si l’on considère les demi-périmètres $A,B,C,D,E$ comme répondant respectivement aux indices ${\tfrac {1}{6}},\ {\tfrac {1}{5}},\ {\tfrac {1}{4}},\ {\tfrac {1}{3}},\ {\tfrac {1}{2}},\ 1,$ le nombre $\varpi$ devra répondre à l’indice ${\tfrac {1}{\infty }}=0,$ et il en sera encore de même, en prenant les indices $60$ fois plus grands $10,12,15,20,30.$ Faisant donc, dans la formule (V) $a=100,\ b=144,\ c=225,\ d=400,\ e=900,$ elle deviendra

$\varpi ={\frac {1469664A-1953125B+720966C-72171D+1056E}{6.6.6.7.10.11}}\,;$

ce qui donnera, en substituant,

$\left.{\begin{aligned}1469664A&=4408992,000000000,\\720966C&=2039001,8547712,\\1056E&=2112,0000000\,;\\\end{aligned}}\right\}6450105,8547712,$

$\left.{\begin{aligned}1953125B&=5740090,8203125,\\72171D&=187505,7554302\,;\\\end{aligned}}\right\}5927596,5757427\,;$

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Donc $6.6.6.7.10.11\ \varpi =522509,2790285.$

d’où $\varpi =\quad \qquad 3,1415902=A'\$

résultat qui ne commence à être fautif qu’à la sixième décimale.

Si, ne connaissant point à l’avance la valeur exacte du nombre $\varpi ,$ on voulait juger du degré d’approximation de ce résultat, il suffirait de faire un semblable calcul relativement aux polygones circonscrits ; et l’on n’admettrait ensuite, dans la valeur approchée du nombre $\varpi ,$ que les chiffres décimaux communs aux deux résultats.

On aurait tort de penser au surplus que l’approximation à laquelle nous venons de parvenir est toute celle que peut donner la considération des cinq premiers polygones réguliers ; si, en effet, nous nous arrêtons successivement au 4.^e, au 3.^e, au 2.^e, et au 1.^er en désignant respectivement par $B',C',D',E'$ les valeurs approchées de $\varpi$ résultant de leur considération ; nous pourrons considérer $A',$