d’où on conclura, par la formule (V’), une nouvelle valeur de
Si, ne connaissant pas, à l’avance, la valeur exacte de on voulait juger du degré d’approximation obtenu après un certain nombre de pareilles opérations, il ne s’agirait que de faire un semblable calcul sur les rectangles circonscrits. On n’adopterait alors dans la valeur de que les chiffres décimaux communs aux deux résultats. Nous allons voir, au surplus, qu’en suivant toujours l’esprit de la même méthode on peut se procurer bien plus rapidement une valeur approchée du nombre et ce sera là notre première application.
II. Supposons, pour un moment, que la géométrie n’offre absolument aucun moyen de calculer, même par approximation, les périmètres des polygones réguliers au-delà de six côtés. Nous allons voir que, tandis que les procédés ordinaires, étendus jusqu’au polygone de 96 côtés, donnent une valeur qui n’est exacte que dans les deux premiers chiffres décimaux, notre méthode, au contraire, bornée à l’hexagone, donne un résultat qui n’est fautif que dans la sixième décimale seulement.
Observons auparavant que deux diamètres qui se confondent, dans un cercle dont le rayon est un, forment un véritable polygone régulier inscrit de deux côtés, dont le périmètre est quatre. En conséquence, nous aurons les demi-périmètres des polygones réguliers inscrits au cercle dont le rayon est un ainsi qu’il suit :
