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THÉORÈMES

$D,\quad ay=bx\,;\qquad D'\quad a'y=b'x,\qquad$(2)

ce qui permet de supposer

$a^{2}+b^{2}=1,\qquad a'^{2}+b'^{2}=1,\qquad$(3)

l’équation de la corde $C$ qui joint les points de rencontre de ces droites avec la courbe est

$\left\{N(ab'+ba')-2APbb'\right\}x+(2Pbb'-Naa')y=2NPbb'\,;\quad {\text{(4)}}$

d’où nous avons conclu que cette corde rencontre l’axe des $y,$ c’est-à-dire, la normale, en un point pour lequel on doit avoir

$y={\frac {2NPbb'}{2Pbb'-Naa'}}.\qquad$(5)

Cela posé, concevons une seconde ligne du second ordre dont les axes des coordonnées soient les diamètres principaux ; et concevons deplus que $D,D'$ soient deux diamètres conjugués quelconques de cette seconde courbe ; nous exprimerons cette circonstance par l’équation

$\alpha aa'+\beta bb'=0\,;\qquad$(6)

dans laquelle $\alpha$ et $\beta$ sont deux constantes, ne dépendant que des dimensions de la seconde courbe.

Or, si l’on élimine $bb'$ de la formule (5), au moyen de la relation (6), $aa'$ disparaîtra de lui-même, et il viendra

$y={\frac {2\alpha NP}{\beta N-2\alpha P}}\,;\qquad$(7)

quantité constante. De là résulte ce théorème :

THÉORÈME I. Si l’on conçoit, sur un même plan, deux lignes quelconques du second ordre, telles que le centre de la seconde soit un point quelconque du périmètre de la première, et que ses diamètres principaux soient dirigés suivant la tangente et la normale à cette première courbe au point dont il s’agit ; de quelque manière que l’on mène deux diamètres conjugués à la seconde courbe,