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THÉORÈMES
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}a^{2}+b^{2}+c^{2}&=1,\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=1,\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=1,\\\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99b8bc6405f9e8ac71848f4d449915829880fa96)
(3)
l’équation du plan
qui joint les points de rencontre de ces droites avec la surface est
![{\displaystyle \ \ \left\{{\begin{aligned}&cc'(bc'-cb')\left(NQa''^{2}+NPb''^{2}-2APQa''c''\right)\\+&c'c''(b'c''-c'b'')\left(NQa^{2}+NPb^{2}-2APQac\right)\\+&c''c(b''c-c''b)\left(NQa'^{2}+NPb'^{2}-2APQa'c'\right)\\\end{aligned}}\right\}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c4ef4ebef875ff19c6718494e7655920fa6bfca)
![{\displaystyle +\left\{{\begin{aligned}&cc'(ca'-ac')\left(NQa''^{2}+NPb''^{2}-2BPQb''c''\right)\\+&c'c''(c'a''-a'c'')\left(NQa^{2}+NPb^{2}-2BPQbc\right)\\+&c''c(c''a-a''c)\left(NQa'^{2}+NPb'^{2}-2BPQb'c'\right)\\\end{aligned}}\right\}y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30d13634c054cd91ac1d543e9fae97af4aee4f27)
![{\displaystyle +\left\{{\begin{aligned}&cc'(ab'-ba')\left(NQa''^{2}+NPb''^{2}+2PQc''^{2}\right)\\+&c'c''(a'b''-b'a'')\left(NQa''^{2}+NPb^{2}+2PQc^{2}\right)\\+&c''c(a''b-b''a)\left(NQa''^{2}+NPQb'^{2}+2PQc'^{2}\right)\\\end{aligned}}\right\}z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85d73b75babd01af5ce310f19d8792aa218c6082)
![{\displaystyle =2NPQcc'c''(ab'c''-ac'b''+ca'b''-ba'c''+bc'a''-cb'a'')\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea833b91cbbd2e8ff1e3319a5520533776234ccf)
(4)
d’où nous avons conclu que ce plan rencontre l’axe des
c’est-à-dire, la normale, en un point dont on obtient la distance à l’origine, en posant, dans cette équation
et
.
En posant, pour abréger,
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}a^{2}c'c''(a'b''-b'a'')&+a'^{2}c''c(a''b-b''a)&+a''^{2}cc'(ab'-ba')&=d,\\b^{2}c'c''(a'b''-b'a'')&+b'^{2}c''c(a''b-b''a)&+b''^{2}cc'(ab'-ba')&=e,\\c^{2}c'c''(a'b''-b'a'')&+c'^{2}c'c''(a''b-b''a)&+c''^{2}cc'(ab'-ba')&=f\,;\\\end{array}}\right\}{\text{(5)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3099003d1cdb10ccfef95feb902f7d699dfce06f)
cette distance sera donnée par la formule
![{\displaystyle z={\frac {2fNPQ}{dNQ+eNP+2fPQ}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f32bdb10e8fb7331e2b0f72b6e7e3902771691f)
(6)
Cela posé, concevons une seconde surface du second ordre dont