des théoriciens, les expressions sous forme finie ne soient plus satisfaisantes que les séries illimitées, quelque convergentes qu’on les suppose d’ailleurs. Outre que ces sortes d’expressions s’introduisent et se combinent plus facilement dans les calculs, elles sont souvent susceptibles d’un énoncé concis et élégant ; et c’est sans doute ce qui les fait rechercher encore, lors même qu’elles ne sont point susceptibles d’évaluation immédiate, ainsi qu’il arrive pour la formule de Bernoulli On peut remarquer enfin que la découverte de l’expression finie d’une quantité, déjà connue par les séries, est un pas de plus dans la solution de l’important et difficile problème de la sommation des suites.
Par ces motifs, nous osons espérer que les géomètres voudront bien accueillir, avec quelque intérêt et bienveillance, l’opuscule que l’on va lire. Il présente, dans un cadre peu étendu, un système complet de formules finies pour la rectification et la quadrature indéfinie des arcs et segmens de cycloïdes, pour la quadrature des surfaces et la cubature des corps engendrés par la révolution de ces arcs et segmens autour de chacune des quatre lignes les plus remarquables de la courbe, enfin pour la détermination des centres de gravité des unes et des autres. Plusieurs de ces expressions n’avaient point été données jusqu’ici, et on paraissait même incliner à penser que quelques-unes d’entre elles ne pouvaient l’être que par les séries. On va voir qu’elles sont toutes susceptibles d’une forme finie.
I. Pour éviter au lecteur l’embarras de feuilleter des traités de calcul intégral, ou de suppléer à ce qu’on n’y trouve pas, et pour lui offrir en même temps le moyen de vérifier facilement nos calculs, nous croyons convenable de présenter brièvement ici les seules formules d’intégration, peu nombreuses d’ailleurs, qui nous seront nécessaires pour parvenir à notre but, Nous sous-entendrons les constantes.
