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DE LA CYCLOÏDE.

1.^o On a d’abord immédiatement

$\int \operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{m}z\operatorname {Cos} .z=+{\frac {1}{m+1}}\operatorname {Sin} .^{m+1}z,\qquad$(A)

$\int \operatorname {d} z\operatorname {Cos} .^{m}z\operatorname {Sin} .z=-{\frac {1}{m+1}}\operatorname {Cos} .^{m+1}z.\qquad$(B)

2.^o Si l’on a à intégrer des formules de l’une des deux formes

$\operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{2m+1}z,\qquad \operatorname {d} z\operatorname {Cos} .^{2m+1}z,$

on les transformera dans les suivantes

$\operatorname {d} z\operatorname {Sin} .z(1-\operatorname {Cos} .^{2}z)^{m},\qquad \operatorname {d} z\operatorname {Cos} .z(1-\operatorname {Sin} .^{2}z)^{m},$

lesquels, par leur développement, donneront une suite de termes rentrant dans le cas (1.^o ).

3.^o Si les formules à intégrer sont de l’une des deux formes

$\operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{m}z\operatorname {Cos} .^{2n+1}z,\qquad \operatorname {d} z\operatorname {Cos} .^{m}z\operatorname {Sin} .^{2n+1}z,$

on les transformera en celles-ci

$\operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{m}z\operatorname {Cos} .z\left(1-\operatorname {Sin} .^{2}z\right)^{n},\qquad \operatorname {d} z\operatorname {Cos} .^{m}z\operatorname {Sin} .z\left(1-\operatorname {Cos} .^{2}z\right)^{n},$

lesquelles, par leur développement, donneront uner suite de termes rentrant également dans le cas (1.^o ).

4.^o Si les formules à intégrer sont

$\operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{2m}z,\qquad \operatorname {d} z\operatorname {Cos} .^{2m}z,$

on aura recours à l’intégration par parties, qui donne, comme l’on sait,

$\int \operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{2m}z=-{\tfrac {1}{2m}}\operatorname {Sin} .^{2m-1}z\operatorname {Cos} .z+{\tfrac {2m-1}{2m}}\int \operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{2(m-1)}z,$ (C)

$\int \operatorname {d} z\operatorname {Cos} .^{2m}z=+{\tfrac {1}{2m}}\operatorname {Cos} .^{2m-1}z\operatorname {Sin} .z+{\tfrac {2m-1}{2m}}\int \operatorname {d} z\operatorname {Cos} .^{2(m-1)}z\,;$(D)

formules au moyen desquelles on parviendra, par degrés, à ramener les intégrales cherchées à $\int \operatorname {d} z=z.$