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THÉORIE GÉOMÉTRIQUE

${\begin{array}{llll}\operatorname {Cos} .z=t,&\operatorname {Sin} .z=u,&{\text{d’où}}&t^{2}+u^{2}=1,\\\operatorname {Cos} .z'=t',&\operatorname {Sin} .z'=u',&{\text{d’où}}&t'^{2}+u'^{2}=1\,;\\\end{array}}$

ce qui donnera

${\begin{array}{llll}x=2r(z-tu),&y=2ru^{2},&\operatorname {d} x=4ru^{2}\operatorname {d} z,&\operatorname {d} y=4rtu\operatorname {d} z,\\x'=2r(z'-t'u'),&y'=2ru'^{2},&\operatorname {d} x'=4rt'^{2}\operatorname {d} z',&\operatorname {d} y'=4rt'u'\operatorname {d} z'.\\\end{array}}$

III. Cherchons d’abord les longueurs des arcs indéfinis $\mathrm {MO,MO'}$?

L’élément du premier de ces arcs est

${\sqrt {\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}}}=4ru\operatorname {d} z,$

dont l’intégrale, commençant avec $z,$ est (I)

$Arc.\mathrm {MO} =4r(1-t)=2\mathrm {(D'D-D'M} ).\qquad$(a)

De là

$Arc.\mathrm {OO'} =4r=2\mathrm {DD'} \,;\qquad$

et par conséquent

$Arc.\mathrm {MO'} =4ru'=2\mathrm {MD'} \qquad$(b)

ce qui met en évidence la propriété de la développée. On pourra évidemment, par ce qui précède, obtenir la longueur d’un arc quelconque de la courbe.

IV. Cherchons les surfaces engendrées par l’arc $\mathrm {OM} ,$ tournant successivement autour de $\mathrm {OP}$ et $\mathrm {OQ}$ ?

L’élément de la première surface est

$2\varpi y{\sqrt {\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}}}=16\varpi r^{2}u^{3}\operatorname {d} z,$

dont l’intégrale, commençant avec $z,$ est (I)

${\frac {16}{3}}\varpi r^{2}(1-t)^{2}(2+t).\qquad$(c)

De là on conclura, pour l’expression de la surface engendrée par l’arc entier $\mathrm {OO'} ,$ autour de $\mathrm {OA} .$

${\frac {32}{3}}\varpi r^{2}={\frac {32}{3}}\operatorname {Cer} .r.$