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THÉORIE GÉOMÉTRIQUE

2\varpi y'{\sqrt {\operatorname {d} x'^{2}+\operatorname {d} y'^{2}}},\qquad 2\varpi x'{\sqrt {\operatorname {d} x'^{2}+\operatorname {d} y'^{2}}},

le moment commun de ces élémens, par rapport aux plans conduits par $\mathrm {O} ',$ perpendiculairement aux axes, sera

2\varpi x'y'{\sqrt {\operatorname {d} x'^{2}+\operatorname {d} y'^{2}}}=32\varpi r^{3}t'u'^{2}\operatorname {d} z'(z'+t'u'),

dont l’intégrale, commençant avec $z',$ est (I)

{\tfrac {32}{45}}\varpi r^{3}(1-t')\left\{15u'z'(1+t')-(1-t')\left(4-7t'-18t'^{2}-9t'^{3}\right)\right\}\,;

divisant donc successivement cette intégrale par les deux formules (g) et (h), on aura, pour les distances du point $\mathrm {O} '$ aux centres de gravité des deux surfaces

{\frac {2r\left\{15u'z'(1+t')-(1-t')\left(4-7t'-18t'^{2}-9t'^{3}\right)\right\}}{15u'(1+t')}},\qquad (m)

{\frac {2r(1-t')\left\{15u'z'(1+t')-(1-t')\left(4-7t'-18t'^{2}-9t'^{3}\right)\right\}}{15\left\{3u'z'-(1-t')^{2}(2+t')\right\}}}.\qquad (n)

S’il s’agit des surfaces décrites par l’arc entier $\mathrm {O'O,}$ ces formules deviendront respectivement,

\varpi r-{\tfrac {8}{15}}r=\mathrm {O'A'} -{\tfrac {4}{15}}\mathrm {A'O} ,\qquad {\tfrac {2}{15}}r.{\frac {15\varpi -8}{3\varpi -4}}.

La première prouve que la distance du point $\mathrm {A} '$ au centre de gravité de la surface décrite par $\mathrm {O'O}$ autour de $\mathrm {O'A'}$ et les ${\tfrac {4}{15}}$ de $\mathrm {A'O,}$ et non point les ${\tfrac {4}{9}}$ de cette droite, comme quelques auteurs l’ont écrit. On peut, d’après ce qui précède, trouver le centre de gravité de la surface engendrée par un arc quelconque de la courbe, tournant autour de $\mathrm {O'A'}$ ou $\mathrm {O'A.}$