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DE LA CYCLOÏDE.

$\mathrm {OQM} =xy-\mathrm {OPM} ,$

c’est-à-dire,

$\mathrm {OQM} =r^{2}\left\{tu\left(3-2u^{2}\right)-z\left(3-4u^{2}\right)\right\}.\qquad (q)$

De là on conclura

$\mathrm {OAO} '={\tfrac {3}{2}}\varpi r^{2}={\tfrac {3}{2}}\operatorname {Cerc} .r\qquad \mathrm {OA'O'} ={\tfrac {1}{2}}\varpi r^{2}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cerc} .r\,;$

c’est-à-dire, que l’aire de la cycloïde entière est triple de celle du cercle générateur. On a en outre

$\mathrm {O'P'M=O'A'O-OQM-QA'P'M,}$

$\mathrm {O'Q'M=O'AO-OPM-Q'APM\,;}$

c’est-à-dire,

$\mathrm {O'P'M} =r^{2}\left\{z'+t'u'\left(1-2t'^{2}\right)\right\},\qquad (r)$

$\mathrm {O'Q'M} =r^{2}\left\{z'\left(3-4t'^{2}\right)+t'u'\left(3-2t'^{2}\right)\right\}.\qquad (s)$

De tout cela on déduira facilement l’aire de toute surface plane terminée par des lignes droites et par des arcs de cycloïdes.

X. Cherchons les volumes des corps engendrés par la révolution des segmens $\mathrm {OPM,OQM,}$ tournant autour de $\mathrm {OP}$ et $\mathrm {OQ} ,$ respectivement ?

L’élément du premier de ces deux corps est

$\varpi y^{2}\operatorname {d} x=16\varpi r^{3}u^{6}\operatorname {d} z,$

dont l’intégrale, commençant avec $z,$ est (I)

${\tfrac {1}{3}}\varpi r^{3}\left\{15z-tu\left(15+10u^{2}+8u^{4}\right)\right\}.\qquad (aa)$

D’après cela, le volume du corps engendré par la révolution du segment entier $\mathrm {OAO'}$, autour de $\mathrm {OA} ,$ sera

${\tfrac {5}{8}}\varpi ^{2}r^{3}={\tfrac {5}{8}}\mathrm {OA} .\operatorname {Cerc} .\mathrm {OA} '\,;$

c’est-à-dire, les ${\tfrac {5}{8}}$ du volume cylindre engendré par la révolution du rectangle $\mathrm {OA'O'A}$ autour de $\mathrm {OA} .$

L’élément de l’autre corps est